Integral de sqrt2x+1+3sqrt(2x+1)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \left(\sqrt{2 x + 1}\right)^{2}\, dx = 3 \int \left(\sqrt{2 x + 1}\right)^{2}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{2 x + 1}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 1}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(2 u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right) + u\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)\, du = 2 \int u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. que $u = \frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}$.

                     Luego que $du = u du$ y ponemos $du$:

                     $\int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)^{2}}{2}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{u^{3}}{2} - \frac{u}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{3}}{2}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4}$

                     El resultado es: $\frac{u^{4}}{8} - \frac{u^{2}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)^{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x^{2} + x + \frac{1}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2} + 3 x + \frac{3}{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + x$

   El resultado es: $\frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 x^{2} + 4 x + \frac{3}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 x^{2} + 4 x + \frac{3}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 x^{2} + 4 x + \frac{3}{2}+ \mathrm{constant}$