Integral de x^5/(6-x^6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 6 - x^{6}$.

      Luego que $du = - 6 x^{5} dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

      $\int \left(- \frac{1}{6 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(6 - x^{6} \right)}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{5}}{6 - x^{6}} = - \frac{x^{5}}{x^{6} - 6}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{5}}{x^{6} - 6}\right)\, dx = - \int \frac{x^{5}}{x^{6} - 6}\, dx$

      1. que $u = x^{6} - 6$.

         Luego que $du = 6 x^{5} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{1}{6 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x^{6} - 6 \right)}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{6} - 6 \right)}}{6}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{5}}{6 - x^{6}} = - \frac{x^{5}}{x^{6} - 6}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{5}}{x^{6} - 6}\right)\, dx = - \int \frac{x^{5}}{x^{6} - 6}\, dx$

      1. que $u = x^{6} - 6$.

         Luego que $du = 6 x^{5} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{1}{6 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x^{6} - 6 \right)}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{6} - 6 \right)}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(6 - x^{6} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(6 - x^{6} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$