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Resolución de integrales/ xLn2x

Integral de xLn2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |  x*log(2*x) dx
 |               
/                
0
∫01xlog⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(x*log(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xlog⁡(2x)=xlog⁡(x)+xlog⁡(2)x \log{\left(2 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(2) dx=log⁡(2)∫x dx\int x \log{\left(2 \right)}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(2)2\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}

      El resultado es: x2log⁡(x)2−x24+x2log⁡(2)2\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(2x)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xlog⁡(2x)=xlog⁡(x)+xlog⁡(2)x \log{\left(2 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(2) dx=log⁡(2)∫x dx\int x \log{\left(2 \right)}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(2)2\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}

      El resultado es: x2log⁡(x)2−x24+x2log⁡(2)2\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    x2(2log⁡(x)−1+log⁡(4))4\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(4 \right)}\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(2log⁡(x)−1+log⁡(4))4+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(4 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(2log⁡(x)−1+log⁡(4))4+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(4 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                     2    2           2       
 |                     x    x *log(2)   x *log(x)
 | x*log(2*x) dx = C - -- + --------- + ---------
 |                     4        2           2    
/
∫xlog⁡(2x) dx=C+x2log⁡(x)2−x24+x2log⁡(2)2\int x \log{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   log(2)
- - + ------
  4     2
−14+log⁡(2)2- \frac{1}{4} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} 
=
= 
  1   log(2)
- - + ------
  4     2
−14+log⁡(2)2- \frac{1}{4} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} 
-1/4 + log(2)/2
Respuesta numérica [src] 
0.0965735902799727
0.0965735902799727

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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