Integral de (x-3)sinxd*x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x d \left(x - 3\right) \sin{\left(x \right)} = d x^{2} \sin{\left(x \right)} - 3 d x \sin{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int d x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx = d \int x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = - 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $d \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3 d x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 d \int x \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 d \left(- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)$

   El resultado es: $- 3 d \left(- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) + d \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)$

3. Ahora simplificar:

   $d \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 3 x \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)$

4. Añadimos la constante de integración:

   $d \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 3 x \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$d \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 3 x \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$