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Resolución de integrales/ sec^4x/ tan^4/ sec^4xtan^4x

Integral de sec^4xtan^4x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     4       4      
 |  sec (x)*tan (x) dx
 |                    
/                     
0
∫01tan⁡4(x)sec⁡4(x) dx\int\limits_{0}^{1} \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sec(x)^4*tan(x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    tan⁡4(x)sec⁡4(x)=(tan⁡2(x)+1)tan⁡4(x)sec⁡2(x)\tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

      Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

      ∫(u6+u4) du\int \left(u^{6} + u^{4}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        El resultado es: u77+u55\frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      tan⁡7(x)7+tan⁡5(x)5\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (tan⁡2(x)+1)tan⁡4(x)sec⁡2(x)=tan⁡6(x)sec⁡2(x)+tan⁡4(x)sec⁡2(x)\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

        ∫u6 du\int u^{6}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        tan⁡7(x)7\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        tan⁡5(x)5\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: tan⁡7(x)7+tan⁡5(x)5\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (tan⁡2(x)+1)tan⁡4(x)sec⁡2(x)=tan⁡6(x)sec⁡2(x)+tan⁡4(x)sec⁡2(x)\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

        ∫u6 du\int u^{6}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        tan⁡7(x)7\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        tan⁡5(x)5\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: tan⁡7(x)7+tan⁡5(x)5\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}

  3. Añadimos la constante de integración:

    tan⁡7(x)7+tan⁡5(x)5+constant\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

tan⁡7(x)7+tan⁡5(x)5+constant\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                             5         7   
 |    4       4             tan (x)   tan (x)
 | sec (x)*tan (x) dx = C + ------- + -------
 |                             5         7   
/
∫tan⁡4(x)sec⁡4(x) dx=C+tan⁡7(x)7+tan⁡5(x)5\int \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   8*sin(1)      sin(1)      sin(1)      2*sin(1)
- ---------- + --------- + ---------- + ---------
        5           7            3      35*cos(1)
  35*cos (1)   7*cos (1)   35*cos (1)
−8sin⁡(1)35cos⁡5(1)+2sin⁡(1)35cos⁡(1)+sin⁡(1)35cos⁡3(1)+sin⁡(1)7cos⁡7(1)- \frac{8 \sin{\left(1 \right)}}{35 \cos^{5}{\left(1 \right)}} + \frac{2 \sin{\left(1 \right)}}{35 \cos{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{35 \cos^{3}{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{7 \cos^{7}{\left(1 \right)}} 
=
= 
   8*sin(1)      sin(1)      sin(1)      2*sin(1)
- ---------- + --------- + ---------- + ---------
        5           7            3      35*cos(1)
  35*cos (1)   7*cos (1)   35*cos (1)
−8sin⁡(1)35cos⁡5(1)+2sin⁡(1)35cos⁡(1)+sin⁡(1)35cos⁡3(1)+sin⁡(1)7cos⁡7(1)- \frac{8 \sin{\left(1 \right)}}{35 \cos^{5}{\left(1 \right)}} + \frac{2 \sin{\left(1 \right)}}{35 \cos{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{35 \cos^{3}{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{7 \cos^{7}{\left(1 \right)}} 
-8*sin(1)/(35*cos(1)^5) + sin(1)/(7*cos(1)^7) + sin(1)/(35*cos(1)^3) + 2*sin(1)/(35*cos(1))
Respuesta numérica [src] 
5.00730361210706
5.00730361210706

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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