Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de 1/(y+y^3)
Integral de 1/4x+3
Integral de (1-2*x)*exp(-2*x)
Integral de (1-2*x)/x^2
Expresiones idénticas
(sin(x/ cuatro)+cos(x/ cuatro))^ dos
( seno de (x dividir por 4) más coseno de (x dividir por 4)) al cuadrado
( seno de (x dividir por cuatro) más coseno de (x dividir por cuatro)) en el grado dos
(sin(x/4)+cos(x/4))2
sinx/4+cosx/42
(sin(x/4)+cos(x/4))²
(sin(x/4)+cos(x/4)) en el grado 2
sinx/4+cosx/4^2
(sin(x dividir por 4)+cos(x dividir por 4))^2
(sin(x/4)+cos(x/4))^2dx
Expresiones semejantes
(sin(x/4)-cos(x/4))^2
Expresiones con funciones
Seno sin
sin(x)e^x
sin(x)*dx/(cos(x)+1)
sin(xdx)/cbrt(3+2*cos(x))
sin(x)*dx/(2+sin(x))
sin(x)cos(x)/(sin(x)+cos(x))dx
Coseno cos
cos(x+pi/3)
cos(x)*(exp(-2x))
cos(x)*e^sin(x)
cos(x)e^(-x)
cos(x)*dx*x/(1-sin(x))

Resolución de integrales/ cos(x/4)/ sin(x/4)/ (sin(x/4)+cos(x/4))^2

Integral de (sin(x/4)+cos(x/4))^2 dx

Solución

Ha introducido [src]

 2*pi                     
 ----                     
  3                       
   /                      
  |                       
  |                   2   
  |  /   /x\      /x\\    
  |  |sin|-| + cos|-||  dx
  |  \   \4/      \4//    
  |                       
 /                        
 0

$$\int\limits_{0}^{\frac{2 \pi}{3}} \left(\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)^{2}\, dx$$

Integral((sin(x/4) + cos(x/4))^2, (x, 0, 2*pi/3))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    El resultado es: $\frac{x}{2} - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 2 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx$
    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} dx}{4}$ y ponemos $- 4 du$ :
      
      $\int \left(- 4 u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - 4 \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- 2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$
      
      Método #2
      
      que $u = \frac{x}{4}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{4}$ y ponemos $4 du$ :
      
      $\int 4 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      que $u = \cos{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos^{2}{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- 2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$
      
      Método #3
      
      que $u = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} dx}{4}$ y ponemos $4 du$ :
      
      $\int 4 u\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = 4 \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    El resultado es: $\frac{x}{2} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  El resultado es: $x - 4 \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    El resultado es: $\frac{x}{2} - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 2 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} dx}{4}$ y ponemos $- 4 du$ :
      
      $\int \left(- 4 u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - 4 \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- 2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    El resultado es: $\frac{x}{2} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  El resultado es: $x - 4 \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$
Ahora simplificar:

$x - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2$
Añadimos la constante de integración:

$x - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                         
 |                                          
 |                  2                       
 | /   /x\      /x\\                    2/x\
 | |sin|-| + cos|-||  dx = C + x - 4*cos |-|
 | \   \4/      \4//                     \4/
 |                                          
/

$$\int \left(\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)^{2}\, dx = C + x - 4 \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

    2*pi
1 + ----
     3

$$1 + \frac{2 \pi}{3}$$

    2*pi
1 + ----
     3

$$1 + \frac{2 \pi}{3}$$

1 + 2*pi/3

Respuesta numérica [src]

3.0943951023932

3.0943951023932

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (sin(x/4)+cos(x/4))^2 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #3

Método #2