Integral de (2x-1)/(x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u - 1}{u - 2}\, du$

      1. que $u = u - 2$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 1}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 1}{u} = 1 + \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            El resultado es: $u + \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u + \log{\left(u - 2 \right)} - 2$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x + \log{\left(2 x - 2 \right)} - 2$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x - 1}{x - 1} = 2 + \frac{1}{x - 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. que $u = x - 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x - 1 \right)}$

      El resultado es: $2 x + \log{\left(x - 1 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x - 1}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{x - 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{x - 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            El resultado es: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x + 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

      El resultado es: $2 x + 2 \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x + \log{\left(2 x - 2 \right)} - 2+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x + \log{\left(2 x - 2 \right)} - 2+ \mathrm{constant}$