Integral de 2x-1/(x-1)*(x+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x + 1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x + 1}{x - 1}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x + 1}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{x - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x - 1 \right)}$

            El resultado es: $x + 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               El resultado es: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            El resultado es: $x + \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x - 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x - 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

   El resultado es: $x^{2} - x - 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} - x - 2 \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} - x - 2 \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$