Integral de (3x+2)/(x-3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + 2}{u - 9}\, du$

      1. que $u = u - 9$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 11}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 11}{u} = 1 + \frac{11}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{11}{u}\, du = 11 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $11 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + 11 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u + 11 \log{\left(u - 9 \right)} - 9$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 x + 11 \log{\left(3 x - 9 \right)} - 9$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 2}{x - 3} = 3 + \frac{11}{x - 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{11}{x - 3}\, dx = 11 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

         1. que $u = x - 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $11 \log{\left(x - 3 \right)}$

      El resultado es: $3 x + 11 \log{\left(x - 3 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 2}{x - 3} = \frac{3 x}{x - 3} + \frac{2}{x - 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{x - 3}\, dx = 3 \int \frac{x}{x - 3}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x - 3} = 1 + \frac{3}{x - 3}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{x - 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

               1. que $u = x - 3$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 3 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(x - 3 \right)}$

            El resultado es: $x + 3 \log{\left(x - 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x + 9 \log{\left(x - 3 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x - 3}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

         1. que $u = x - 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x - 3 \right)}$

      El resultado es: $3 x + 9 \log{\left(x - 3 \right)} + 2 \log{\left(x - 3 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 x + 11 \log{\left(3 x - 9 \right)} - 9+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x + 11 \log{\left(3 x - 9 \right)} - 9+ \mathrm{constant}$