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Resolución de integrales/ (1-x)/ e^(x/2)/ (1-x)*e^(x/2)

Integral de (1-x)*e^(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |           x   
 |           -   
 |           2   
 |  (1 - x)*E  dx
 |               
/                
0
∫01ex2(1−x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{\frac{x}{2}} \left(1 - x\right)\, dx 
Integral((1 - x)*E^(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

      ∫(−(u+1)e−u2) du\int \left(- \left(u + 1\right) e^{- \frac{u}{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(u+1)e−u2 du=−∫(u+1)e−u2 du\int \left(u + 1\right) e^{- \frac{u}{2}}\, du = - \int \left(u + 1\right) e^{- \frac{u}{2}}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u+1u{\left(u \right)} = u + 1 y que dv⁡(u)=e−u2\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- \frac{u}{2}}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=−u2u = - \frac{u}{2}.

            Luego que du=−du2du = - \frac{du}{2} y ponemos −2du- 2 du:

            ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2e−u2- 2 e^{- \frac{u}{2}}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2e−u2) du=−2∫e−u2 du\int \left(- 2 e^{- \frac{u}{2}}\right)\, du = - 2 \int e^{- \frac{u}{2}}\, du

          1. que u=−u2u = - \frac{u}{2}.

            Luego que du=−du2du = - \frac{du}{2} y ponemos −2du- 2 du:

            ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2e−u2- 2 e^{- \frac{u}{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 4e−u24 e^{- \frac{u}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(u+1)e−u2+4e−u22 \left(u + 1\right) e^{- \frac{u}{2}} + 4 e^{- \frac{u}{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(1−x)ex2+4ex22 \left(1 - x\right) e^{\frac{x}{2}} + 4 e^{\frac{x}{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex2(1−x)=−xex2+ex2e^{\frac{x}{2}} \left(1 - x\right) = - x e^{\frac{x}{2}} + e^{\frac{x}{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xex2) dx=−∫xex2 dx\int \left(- x e^{\frac{x}{2}}\right)\, dx = - \int x e^{\frac{x}{2}}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2ex22 e^{\frac{x}{2}}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2ex2 dx=2∫ex2 dx\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2ex22 e^{\frac{x}{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 4ex24 e^{\frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −2xex2+4ex2- 2 x e^{\frac{x}{2}} + 4 e^{\frac{x}{2}}

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2ex22 e^{\frac{x}{2}}

      El resultado es: −2xex2+6ex2- 2 x e^{\frac{x}{2}} + 6 e^{\frac{x}{2}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex2(1−x)=−xex2+ex2e^{\frac{x}{2}} \left(1 - x\right) = - x e^{\frac{x}{2}} + e^{\frac{x}{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xex2) dx=−∫xex2 dx\int \left(- x e^{\frac{x}{2}}\right)\, dx = - \int x e^{\frac{x}{2}}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2ex22 e^{\frac{x}{2}}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2ex2 dx=2∫ex2 dx\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2ex22 e^{\frac{x}{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 4ex24 e^{\frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −2xex2+4ex2- 2 x e^{\frac{x}{2}} + 4 e^{\frac{x}{2}}

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2ex22 e^{\frac{x}{2}}

      El resultado es: −2xex2+6ex2- 2 x e^{\frac{x}{2}} + 6 e^{\frac{x}{2}}

  2. Ahora simplificar:

    2(3−x)ex22 \left(3 - x\right) e^{\frac{x}{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(3−x)ex2+constant2 \left(3 - x\right) e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(3−x)ex2+constant2 \left(3 - x\right) e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       
 |                                        
 |          x             x              x
 |          -             -              -
 |          2             2              2
 | (1 - x)*E  dx = C + 4*e  + 2*(1 - x)*e 
 |                                        
/
∫ex2(1−x) dx=C+2(1−x)ex2+4ex2\int e^{\frac{x}{2}} \left(1 - x\right)\, dx = C + 2 \left(1 - x\right) e^{\frac{x}{2}} + 4 e^{\frac{x}{2}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        1/2
-6 + 4*e
−6+4e12-6 + 4 e^{\frac{1}{2}} 
=
= 
        1/2
-6 + 4*e
−6+4e12-6 + 4 e^{\frac{1}{2}} 
-6 + 4*exp(1/2)
Respuesta numérica [src] 
0.594885082800513
0.594885082800513

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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