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Resolución de integrales/ 4*x+1/ sin(1,2*x)/ (5,4*x+1,4)*sin(1,2*x)

Integral de (5,4*x+1,4)*sin(1,2*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 19                       
 --                       
 10                       
  /                       
 |                        
 |  /27*x   7\    /6*x\   
 |  |---- + -|*sin|---| dx
 |  \ 5     5/    \ 5 /   
 |                        
/                         
11                        
--                        
10
∫11101910(27x5+75)sin⁡(6x5) dx\int\limits_{\frac{11}{10}}^{\frac{19}{10}} \left(\frac{27 x}{5} + \frac{7}{5}\right) \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}\, dx 
Integral((27*x/5 + 7/5)*sin(6*x/5), (x, 11/10, 19/10))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (27x5+75)sin⁡(6x5)=27xsin⁡(6x5)5+7sin⁡(6x5)5\left(\frac{27 x}{5} + \frac{7}{5}\right) \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)} = \frac{27 x \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{5} + \frac{7 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{5}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫27xsin⁡(6x5)5 dx=27∫xsin⁡(6x5) dx5\int \frac{27 x \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{5}\, dx = \frac{27 \int x \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}\, dx}{5}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(6x5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=6x5u = \frac{6 x}{5}.

            Luego que du=6dx5du = \frac{6 dx}{5} y ponemos 5du6\frac{5 du}{6}:

            ∫5sin⁡(u)6 du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du6\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)6- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −5cos⁡(6x5)6- \frac{5 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−5cos⁡(6x5)6) dx=−5∫cos⁡(6x5) dx6\int \left(- \frac{5 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}\right)\, dx = - \frac{5 \int \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}\, dx}{6}

          1. que u=6x5u = \frac{6 x}{5}.

            Luego que du=6dx5du = \frac{6 dx}{5} y ponemos 5du6\frac{5 du}{6}:

            ∫5cos⁡(u)6 du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)6\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5sin⁡(6x5)6\frac{5 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

          Por lo tanto, el resultado es: −25sin⁡(6x5)36- \frac{25 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{36}

        Por lo tanto, el resultado es: −9xcos⁡(6x5)2+15sin⁡(6x5)4- \frac{9 x \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{2} + \frac{15 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7sin⁡(6x5)5 dx=7∫sin⁡(6x5) dx5\int \frac{7 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{5}\, dx = \frac{7 \int \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}\, dx}{5}

        1. que u=6x5u = \frac{6 x}{5}.

          Luego que du=6dx5du = \frac{6 dx}{5} y ponemos 5du6\frac{5 du}{6}:

          ∫5sin⁡(u)6 du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du6\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)6- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −5cos⁡(6x5)6- \frac{5 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −7cos⁡(6x5)6- \frac{7 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

      El resultado es: −9xcos⁡(6x5)2+15sin⁡(6x5)4−7cos⁡(6x5)6- \frac{9 x \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{2} + \frac{15 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{4} - \frac{7 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=27x5+75u{\left(x \right)} = \frac{27 x}{5} + \frac{7}{5} y que dv⁡(x)=sin⁡(6x5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=275\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{27}{5}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=6x5u = \frac{6 x}{5}.

        Luego que du=6dx5du = \frac{6 dx}{5} y ponemos 5du6\frac{5 du}{6}:

        ∫5sin⁡(u)6 du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{6}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du6\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)6- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −5cos⁡(6x5)6- \frac{5 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−9cos⁡(6x5)2) dx=−9∫cos⁡(6x5) dx2\int \left(- \frac{9 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{9 \int \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}\, dx}{2}

      1. que u=6x5u = \frac{6 x}{5}.

        Luego que du=6dx5du = \frac{6 dx}{5} y ponemos 5du6\frac{5 du}{6}:

        ∫5cos⁡(u)6 du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{6}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)6\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        5sin⁡(6x5)6\frac{5 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

      Por lo tanto, el resultado es: −15sin⁡(6x5)4- \frac{15 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (27x5+75)sin⁡(6x5)=27xsin⁡(6x5)5+7sin⁡(6x5)5\left(\frac{27 x}{5} + \frac{7}{5}\right) \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)} = \frac{27 x \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{5} + \frac{7 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{5}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫27xsin⁡(6x5)5 dx=27∫xsin⁡(6x5) dx5\int \frac{27 x \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{5}\, dx = \frac{27 \int x \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}\, dx}{5}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(6x5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=6x5u = \frac{6 x}{5}.

            Luego que du=6dx5du = \frac{6 dx}{5} y ponemos 5du6\frac{5 du}{6}:

            ∫5sin⁡(u)6 du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du6\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)6- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −5cos⁡(6x5)6- \frac{5 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−5cos⁡(6x5)6) dx=−5∫cos⁡(6x5) dx6\int \left(- \frac{5 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}\right)\, dx = - \frac{5 \int \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}\, dx}{6}

          1. que u=6x5u = \frac{6 x}{5}.

            Luego que du=6dx5du = \frac{6 dx}{5} y ponemos 5du6\frac{5 du}{6}:

            ∫5cos⁡(u)6 du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)6\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5sin⁡(6x5)6\frac{5 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

          Por lo tanto, el resultado es: −25sin⁡(6x5)36- \frac{25 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{36}

        Por lo tanto, el resultado es: −9xcos⁡(6x5)2+15sin⁡(6x5)4- \frac{9 x \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{2} + \frac{15 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7sin⁡(6x5)5 dx=7∫sin⁡(6x5) dx5\int \frac{7 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{5}\, dx = \frac{7 \int \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}\, dx}{5}

        1. que u=6x5u = \frac{6 x}{5}.

          Luego que du=6dx5du = \frac{6 dx}{5} y ponemos 5du6\frac{5 du}{6}:

          ∫5sin⁡(u)6 du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du6\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)6- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −5cos⁡(6x5)6- \frac{5 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −7cos⁡(6x5)6- \frac{7 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

      El resultado es: −9xcos⁡(6x5)2+15sin⁡(6x5)4−7cos⁡(6x5)6- \frac{9 x \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{2} + \frac{15 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{4} - \frac{7 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −9xcos⁡(6x5)2+15sin⁡(6x5)4−7cos⁡(6x5)6+constant- \frac{9 x \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{2} + \frac{15 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{4} - \frac{7 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−9xcos⁡(6x5)2+15sin⁡(6x5)4−7cos⁡(6x5)6+constant- \frac{9 x \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{2} + \frac{15 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{4} - \frac{7 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  /6*x\         /6*x\          /6*x\
 |                              7*cos|---|   15*sin|---|   9*x*cos|---|
 | /27*x   7\    /6*x\               \ 5 /         \ 5 /          \ 5 /
 | |---- + -|*sin|---| dx = C - ---------- + ----------- - ------------
 | \ 5     5/    \ 5 /              6             4             2      
 |                                                                     
/
∫(27x5+75)sin⁡(6x5) dx=C−9xcos⁡(6x5)2+15sin⁡(6x5)4−7cos⁡(6x5)6\int \left(\frac{27 x}{5} + \frac{7}{5}\right) \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}\, dx = C - \frac{9 x \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{2} + \frac{15 \sin{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{4} - \frac{7 \cos{\left(\frac{6 x}{5} \right)}}{6}
Simplificar
Gráfica
1.101.201.301.401.501.601.701.80010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         /57\         /33\         /57\          /33\
  583*cos|--|   15*sin|--|   15*sin|--|   367*cos|--|
         \25/         \25/         \25/          \25/
- ----------- - ---------- + ---------- + -----------
       60           4            4             60
−15sin⁡(3325)4+367cos⁡(3325)60+15sin⁡(5725)4−583cos⁡(5725)60- \frac{15 \sin{\left(\frac{33}{25} \right)}}{4} + \frac{367 \cos{\left(\frac{33}{25} \right)}}{60} + \frac{15 \sin{\left(\frac{57}{25} \right)}}{4} - \frac{583 \cos{\left(\frac{57}{25} \right)}}{60} 
=
= 
         /57\         /33\         /57\          /33\
  583*cos|--|   15*sin|--|   15*sin|--|   367*cos|--|
         \25/         \25/         \25/          \25/
- ----------- - ---------- + ---------- + -----------
       60           4            4             60
−15sin⁡(3325)4+367cos⁡(3325)60+15sin⁡(5725)4−583cos⁡(5725)60- \frac{15 \sin{\left(\frac{33}{25} \right)}}{4} + \frac{367 \cos{\left(\frac{33}{25} \right)}}{60} + \frac{15 \sin{\left(\frac{57}{25} \right)}}{4} - \frac{583 \cos{\left(\frac{57}{25} \right)}}{60} 
-583*cos(57/25)/60 - 15*sin(33/25)/4 + 15*sin(57/25)/4 + 367*cos(33/25)/60
Respuesta numérica [src] 
7.05890907763463
7.05890907763463

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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