Integral de (arccosx^3-1)/sqrt(1-x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(1 - u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

         El resultado es: $- \frac{u^{4}}{4} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\operatorname{acos}^{4}{\left(x \right)}}{4} + \operatorname{acos}{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\operatorname{acos}^{3}{\left(x \right)} - 1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{\operatorname{acos}^{3}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\operatorname{acos}^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

         ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{asin}{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{\operatorname{acos}^{4}{\left(x \right)}}{4} - \operatorname{asin}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\operatorname{acos}^{4}{\left(x \right)}}{4} + \operatorname{acos}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\operatorname{acos}^{4}{\left(x \right)}}{4} + \operatorname{acos}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$