Integral de (5x^2-7x)/x^(2/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{- 21 u^{\frac{3}{2}} + 15 u^{3}}{2 \sqrt{u}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{- 21 u^{\frac{3}{2}} + 15 u^{3}}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{- 21 u^{\frac{3}{2}} + 15 u^{3}}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{u}}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{42 u^{3} - 30}{u^{8}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{42 u^{3} - 30}{u^{8}} = \frac{42}{u^{5}} - \frac{30}{u^{8}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{42}{u^{5}}\, du = 42 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{21}{2 u^{4}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{30}{u^{8}}\right)\, du = - 30 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{30}{7 u^{7}}$

               El resultado es: $- \frac{21}{2 u^{4}} + \frac{30}{7 u^{7}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{30 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{21 u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{21 u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{15 x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{21 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x^{2} - 7 x}{x^{\frac{2}{3}}} = 5 x^{\frac{4}{3}} - 7 \sqrt[3]{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{\frac{4}{3}}\, dx = 5 \int x^{\frac{4}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{4}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 7 \sqrt[3]{x}\right)\, dx = - 7 \int \sqrt[3]{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{21 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      El resultado es: $\frac{15 x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{21 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x^{2} - 7 x}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{5 x^{2}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7 x}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 5 \int \frac{x^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 dx}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{3}{2 u^{\frac{9}{2}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{3 \int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{2}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{7 x}{x^{\frac{2}{3}}}\right)\, dx = - 7 \int \frac{x}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 dx}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{3}{2 u^{3}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{3 \int \frac{1}{u^{3}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{4 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{21 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      El resultado es: $\frac{15 x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{21 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{\frac{4}{3}} \left(20 x - 49\right)}{28}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{4}{3}} \left(20 x - 49\right)}{28}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}} \left(20 x - 49\right)}{28}+ \mathrm{constant}$