Integral de (x+3)/(x^(4/5)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{4}{5}}$.

      Luego que $du = \frac{4 dx}{5 \sqrt[5]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{5 u^{\frac{5}{4}} + 15}{4 u^{\frac{3}{4}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 u^{\frac{5}{4}} + 15}{u^{\frac{3}{4}}}\, du = \frac{\int \frac{5 u^{\frac{5}{4}} + 15}{u^{\frac{3}{4}}}\, du}{4}$

         1. que $u = \frac{1}{u^{\frac{3}{4}}}$.

            Luego que $du = - \frac{3 du}{4 u^{\frac{7}{4}}}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{60 u^{\frac{5}{3}} + 20}{3 u^{3}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{60 u^{\frac{5}{3}} + 20}{u^{3}}\, du = - \frac{\int \frac{60 u^{\frac{5}{3}} + 20}{u^{3}}\, du}{3}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{60 u^{\frac{5}{3}} + 20}{u^{3}} = \frac{20}{u^{3}} + \frac{60}{u^{\frac{4}{3}}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{20}{u^{3}}\, du = 20 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10}{u^{2}}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{60}{u^{\frac{4}{3}}}\, du = 60 \int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}}\, du = - \frac{3}{\sqrt[3]{u}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{180}{\sqrt[3]{u}}$

                  El resultado es: $- \frac{10}{u^{2}} - \frac{180}{\sqrt[3]{u}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10}{3 u^{2}} + \frac{60}{\sqrt[3]{u}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $60 \sqrt[4]{u} + \frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $15 \sqrt[4]{u} + \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + 15 \sqrt[5]{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 3}{x^{\frac{4}{5}}} = \frac{x}{x^{\frac{4}{5}}} + \frac{3}{x^{\frac{4}{5}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$.

         Luego que $du = - \frac{4 dx}{5 x^{\frac{9}{5}}}$ y ponemos $- \frac{5 du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{5}{4 u^{\frac{5}{2}}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du = - \frac{2}{3 u^{\frac{3}{2}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{6 u^{\frac{3}{2}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x^{\frac{4}{5}}}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}\, dx = 5 \sqrt[5]{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $15 \sqrt[5]{x}$

      El resultado es: $\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + 15 \sqrt[5]{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 \sqrt[5]{x} \left(x + 18\right)}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 \sqrt[5]{x} \left(x + 18\right)}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 \sqrt[5]{x} \left(x + 18\right)}{6}+ \mathrm{constant}$