Integral de x*sqr(1-x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - x^{2}$.

      Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{3}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(1 - x^{2}\right)^{2} = x^{5} - 2 x^{3} + x$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x^{3}\right)\, dx = - 2 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{6}}{6} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$