Integral de (4x+1)e^(-0.5x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $e^{- \frac{x}{2}} \left(4 x + 1\right) = 4 x e^{- \frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 x e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 4 \int x e^{- \frac{x}{2}}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)\, dx = - 2 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx$

         1. que $u = - \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{- \frac{x}{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 8 x e^{- \frac{x}{2}} - 16 e^{- \frac{x}{2}}$

   1. que $u = - \frac{x}{2}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

   El resultado es: $- 8 x e^{- \frac{x}{2}} - 18 e^{- \frac{x}{2}}$

3. Ahora simplificar:

   $- \left(8 x + 18\right) e^{- \frac{x}{2}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(8 x + 18\right) e^{- \frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(8 x + 18\right) e^{- \frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$