Integral de x^(3)(1-2x^(4))^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - 2 x^{4}$.

      Luego que $du = - 8 x^{3} dx$ y ponemos $- \frac{du}{8}$:

      $\int \left(- \frac{u^{3}}{8}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{8}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{32}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - 2 x^{4}\right)^{4}}{32}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(1 - 2 x^{4}\right)^{3} = - 8 x^{15} + 12 x^{11} - 6 x^{7} + x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x^{15}\right)\, dx = - 8 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{16}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x^{11}\, dx = 12 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x^{7}\right)\, dx = - 6 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{8}}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{x^{16}}{2} + x^{12} - \frac{3 x^{8}}{4} + \frac{x^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(2 x^{4} - 1\right)^{4}}{32}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(2 x^{4} - 1\right)^{4}}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(2 x^{4} - 1\right)^{4}}{32}+ \mathrm{constant}$