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Resolución de integrales/ x^2-1/ (2x-1)/ (x^2-1)/(2x-1)

Integral de (x^2-1)/(2x-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |    2       
 |   x  - 1   
 |  ------- dx
 |  2*x - 1   
 |            
/             
0
∫01x2−12x−1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}\, dx 
Integral((x^2 - 1)/(2*x - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−12x−1=x2+14−34(2x−1)\frac{x^{2} - 1}{2 x - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4 \left(2 x - 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−34(2x−1)) dx=−3∫12x−1 dx4\int \left(- \frac{3}{4 \left(2 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{4}

        1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −3log⁡(2x−1)8- \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}

      El resultado es: x24+x4−3log⁡(2x−1)8\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} - \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−12x−1=x22x−1−12x−1\frac{x^{2} - 1}{2 x - 1} = \frac{x^{2}}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x22x−1=x2+14+14(2x−1)\frac{x^{2}}{2 x - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14(2x−1) dx=∫12x−1 dx4\int \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{4}

          1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x−1)8\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}

        El resultado es: x24+x4+log⁡(2x−1)8\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12x−1) dx=−∫12x−1 dx\int \left(- \frac{1}{2 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx

        1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x−1)2- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x24+x4−log⁡(2x−1)2+log⁡(2x−1)8\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x24+x4−3log⁡(2x−1)8+constant\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} - \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x24+x4−3log⁡(2x−1)8+constant\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} - \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                                          
 |   2                                     2
 |  x  - 1          3*log(-1 + 2*x)   x   x 
 | ------- dx = C - --------------- + - + --
 | 2*x - 1                 8          4   4 
 |                                          
/
∫x2−12x−1 dx=C+x24+x4−3log⁡(2x−1)8\int \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}\, dx = C + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} - \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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