Integral de (x-2)*(x-3)^(1/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[4]{x - 3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4 \left(x - 3\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 20 u^{4} + 4 \left(u^{4} + 3\right)^{2} - 36\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 20 u^{4}\right)\, du = - 20 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 \left(u^{4} + 3\right)^{2}\, du = 4 \int \left(u^{4} + 3\right)^{2}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(u^{4} + 3\right)^{2} = u^{8} + 6 u^{4} + 9$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 6 u^{4}\, du = 6 \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u^{5}}{5}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 9\, du = 9 u$

               El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} + \frac{6 u^{5}}{5} + 9 u$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{9}}{9} + \frac{24 u^{5}}{5} + 36 u$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-36\right)\, du = - 36 u$

         El resultado es: $\frac{4 u^{9}}{9} + \frac{4 u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{9}{4}}}{9} + \frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt[4]{x - 3} \left(x - 2\right) = x \sqrt[4]{x - 3} - 2 \sqrt[4]{x - 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sqrt[4]{x - 3}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{4 \left(x - 3\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 12 u^{4} + 4 \left(u^{4} + 3\right)^{2} - 36\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 12 u^{4}\right)\, du = - 12 \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12 u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 \left(u^{4} + 3\right)^{2}\, du = 4 \int \left(u^{4} + 3\right)^{2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(u^{4} + 3\right)^{2} = u^{8} + 6 u^{4} + 9$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 6 u^{4}\, du = 6 \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u^{5}}{5}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 9\, du = 9 u$

                  El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} + \frac{6 u^{5}}{5} + 9 u$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{9}}{9} + \frac{24 u^{5}}{5} + 36 u$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-36\right)\, du = - 36 u$

            El resultado es: $\frac{4 u^{9}}{9} + \frac{12 u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{9}{4}}}{9} + \frac{12 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sqrt[4]{x - 3}\right)\, dx = - 2 \int \sqrt[4]{x - 3}\, dx$

         1. que $u = x - 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt[4]{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[4]{u}\, du = \frac{4 u^{\frac{5}{4}}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

      El resultado es: $\frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{9}{4}}}{9} + \frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt[4]{x - 3} \left(x - 2\right) = x \sqrt[4]{x - 3} - 2 \sqrt[4]{x - 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sqrt[4]{x - 3}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{4 \left(x - 3\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 12 u^{4} + 4 \left(u^{4} + 3\right)^{2} - 36\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 12 u^{4}\right)\, du = - 12 \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12 u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 \left(u^{4} + 3\right)^{2}\, du = 4 \int \left(u^{4} + 3\right)^{2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(u^{4} + 3\right)^{2} = u^{8} + 6 u^{4} + 9$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 6 u^{4}\, du = 6 \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u^{5}}{5}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 9\, du = 9 u$

                  El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} + \frac{6 u^{5}}{5} + 9 u$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{9}}{9} + \frac{24 u^{5}}{5} + 36 u$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-36\right)\, du = - 36 u$

            El resultado es: $\frac{4 u^{9}}{9} + \frac{12 u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{9}{4}}}{9} + \frac{12 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sqrt[4]{x - 3}\right)\, dx = - 2 \int \sqrt[4]{x - 3}\, dx$

         1. que $u = x - 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt[4]{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[4]{u}\, du = \frac{4 u^{\frac{5}{4}}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

      El resultado es: $\frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{9}{4}}}{9} + \frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}} \left(5 x - 6\right)}{45}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}} \left(5 x - 6\right)}{45}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(x - 3\right)^{\frac{5}{4}} \left(5 x - 6\right)}{45}+ \mathrm{constant}$