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Resolución de integrales/ 2cosx/ sinxsqrt(4-2cosx)

Integral de sinxsqrt(4-2cosx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |           ______________   
 |  sin(x)*\/ 4 - 2*cos(x)  dx
 |                            
/                             
0
∫014−2cos⁡(x)sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sqrt{4 - 2 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)*sqrt(4 - 2*cos(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=4−2cos⁡(x)u = 4 - 2 \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=2sin⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u2 du\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u du=∫u du2\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: u323\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (4−2cos⁡(x))323\frac{\left(4 - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      4−2cos⁡(x)sin⁡(x)=22−cos⁡(x)sin⁡(x)\sqrt{4 - 2 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{2 - \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫22−cos⁡(x)sin⁡(x) dx=2∫2−cos⁡(x)sin⁡(x) dx\int \sqrt{2} \sqrt{2 - \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}\, dx = \sqrt{2} \int \sqrt{2 - \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=2−cos⁡(x)u = 2 - \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin⁡(x)dxdu = \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u du\int \sqrt{u}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2(2−cos⁡(x))323\frac{2 \left(2 - \cos{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 22(2−cos⁡(x))323\frac{2 \sqrt{2} \left(2 - \cos{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    22(2−cos⁡(x))323\frac{2 \sqrt{2} \left(2 - \cos{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    22(2−cos⁡(x))323+constant\frac{2 \sqrt{2} \left(2 - \cos{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

22(2−cos⁡(x))323+constant\frac{2 \sqrt{2} \left(2 - \cos{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                                                3/2
 |          ______________          (4 - 2*cos(x))   
 | sin(x)*\/ 4 - 2*cos(x)  dx = C + -----------------
 |                                          3        
/
∫4−2cos⁡(x)sin⁡(x) dx=C+(4−2cos⁡(x))323\int \sqrt{4 - 2 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\left(4 - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9001
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      ___       ___   ____________       ___   ____________       
  2*\/ 2    4*\/ 2 *\/ 2 - cos(1)    2*\/ 2 *\/ 2 - cos(1) *cos(1)
- ------- + ---------------------- - -----------------------------
     3                3                            3
−223−222−cos⁡(1)cos⁡(1)3+422−cos⁡(1)3- \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{2 - \cos{\left(1 \right)}} \cos{\left(1 \right)}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} \sqrt{2 - \cos{\left(1 \right)}}}{3} 
=
= 
      ___       ___   ____________       ___   ____________       
  2*\/ 2    4*\/ 2 *\/ 2 - cos(1)    2*\/ 2 *\/ 2 - cos(1) *cos(1)
- ------- + ---------------------- - -----------------------------
     3                3                            3
−223−222−cos⁡(1)cos⁡(1)3+422−cos⁡(1)3- \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{2 - \cos{\left(1 \right)}} \cos{\left(1 \right)}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} \sqrt{2 - \cos{\left(1 \right)}}}{3} 
-2*sqrt(2)/3 + 4*sqrt(2)*sqrt(2 - cos(1))/3 - 2*sqrt(2)*sqrt(2 - cos(1))*cos(1)/3
Respuesta numérica [src] 
0.719907133754052
0.719907133754052

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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