Integral de x(x-1)^4 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(x - 1\right)^{4} = x^{5} - 4 x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} + x$

2. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4 x^{4}\right)\, dx = - 4 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{5}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 6 x^{3}\, dx = 6 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{4}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4 x^{2}\right)\, dx = - 4 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{3}}{3}$

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{x^{6}}{6} - \frac{4 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(5 x^{4} - 24 x^{3} + 45 x^{2} - 40 x + 15\right)}{30}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(5 x^{4} - 24 x^{3} + 45 x^{2} - 40 x + 15\right)}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(5 x^{4} - 24 x^{3} + 45 x^{2} - 40 x + 15\right)}{30}+ \mathrm{constant}$