Integral de 1/x^4(x^3+1)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{3} + 1\right)^{2}}{x^{4}} = x^{2} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{4}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{3 x^{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{3} + 1\right)^{2}}{x^{4}} = \frac{x^{6} + 2 x^{3} + 1}{x^{4}}$

   2. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{3 u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}} = 1 + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{3} + \frac{2 \log{\left(u \right)}}{3} - \frac{1}{3 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{3}}{3} + \frac{2 \log{\left(x^{3} \right)}}{3} - \frac{1}{3 x^{3}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} + 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{3 x^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} + 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{3 x^{3}}+ \mathrm{constant}$