Sr Examen

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Integral de 1/x^4(x^3+1)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1             
  /             
 |              
 |          2   
 |  / 3    \    
 |  \x  + 1/    
 |  --------- dx
 |       4      
 |      x       
 |              
/               
0               
01(x3+1)2x4dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(x^{3} + 1\right)^{2}}{x^{4}}\, dx
Integral((x^3 + 1)^2/x^4, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+1)2x4=x2+2x+1x4\frac{\left(x^{3} + 1\right)^{2}}{x^{4}} = x^{2} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{4}}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2xdx=21xdx\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: 2log(x)2 \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        1x4dx=13x3\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}

      El resultado es: x33+2log(x)13x3\frac{x^{3}}{3} + 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{3 x^{3}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+1)2x4=x6+2x3+1x4\frac{\left(x^{3} + 1\right)^{2}}{x^{4}} = \frac{x^{6} + 2 x^{3} + 1}{x^{4}}

    2. que u=x3u = x^{3}.

      Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

      u2+2u+13u2du\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{3 u^{2}}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        u2+2u+1u2du=u2+2u+1u2du3\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du}{3}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2+2u+1u2=1+2u+1u2\frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}} = 1 + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            2udu=21udu\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: 2log(u)2 \log{\left(u \right)}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          El resultado es: u+2log(u)1uu + 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}

        Por lo tanto, el resultado es: u3+2log(u)313u\frac{u}{3} + \frac{2 \log{\left(u \right)}}{3} - \frac{1}{3 u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x33+2log(x3)313x3\frac{x^{3}}{3} + \frac{2 \log{\left(x^{3} \right)}}{3} - \frac{1}{3 x^{3}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x33+2log(x)13x3+constant\frac{x^{3}}{3} + 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{3 x^{3}}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x33+2log(x)13x3+constant\frac{x^{3}}{3} + 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{3 x^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                       
 |                                        
 |         2                              
 | / 3    \                              3
 | \x  + 1/                       1     x 
 | --------- dx = C + 2*log(x) - ---- + --
 |      4                           3   3 
 |     x                         3*x      
 |                                        
/                                         
(x3+1)2x4dx=C+x33+2log(x)13x3\int \frac{\left(x^{3} + 1\right)^{2}}{x^{4}}\, dx = C + \frac{x^{3}}{3} + 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{3 x^{3}}
Respuesta [src]
oo
\infty
=
=
oo
\infty
oo
Respuesta numérica [src]
7.81431122445857e+56
7.81431122445857e+56

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.