Integral de xsin2x(x) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

            Método #2

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                     Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- u\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int u\, du = - \int u\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

                  Método #2

                  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                     Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                     $\int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \frac{x}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$