Integral de 1/(2x-1)(2x+1)(2x+3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{2} + 4 u + 3}{2 u - 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{2} + 4 u + 3}{2 u - 2} = \frac{u}{2} + \frac{5}{2} + \frac{4}{u - 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{5}{2}\, du = \frac{5 u}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4}{u - 1}\, du = 4 \int \frac{1}{u - 1}\, du$

            1. que $u = u - 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(u - 1 \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{2}}{4} + \frac{5 u}{2} + 4 \log{\left(u - 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x^{2} + 5 x + 4 \log{\left(2 x - 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{2 x - 1} \left(2 x + 3\right) = 2 x + 5 + \frac{8}{2 x - 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 5\, dx = 5 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{2 x - 1}\, dx = 8 \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$

         1. que $u = 2 x - 1$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(2 x - 1 \right)}$

      El resultado es: $x^{2} + 5 x + 4 \log{\left(2 x - 1 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{2 x - 1} \left(2 x + 3\right) = \frac{4 x^{2} + 8 x + 3}{2 x - 1}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x^{2} + 8 x + 3}{2 x - 1} = 2 x + 5 + \frac{8}{2 x - 1}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 5\, dx = 5 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{2 x - 1}\, dx = 8 \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$

         1. que $u = 2 x - 1$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(2 x - 1 \right)}$

      El resultado es: $x^{2} + 5 x + 4 \log{\left(2 x - 1 \right)}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{2 x - 1} \left(2 x + 3\right) = \frac{4 x^{2}}{2 x - 1} + \frac{8 x}{2 x - 1} + \frac{3}{2 x - 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x^{2}}{2 x - 1}\, dx = 4 \int \frac{x^{2}}{2 x - 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2}}{2 x - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{4}$

               1. que $u = 2 x - 1$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}$

            El resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} + x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8 x}{2 x - 1}\, dx = 8 \int \frac{x}{2 x - 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x - 1$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x + 2 \log{\left(2 x - 1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{2 x - 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$

         1. que $u = 2 x - 1$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $x^{2} + 5 x + \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} + \frac{5 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} + 5 x + 4 \log{\left(2 x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} + 5 x + 4 \log{\left(2 x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$