Integral de xarcsinax dx

Solución

Ha introducido [src]

  1               
  /               
 |                
 |  x*asin(a*x) dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left(a x \right)}\, dx$$

Integral(x*asin(a*x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(a x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{a}{\sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
  
  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \frac{a x^{2}}{2 \sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}}\, dx = \frac{a \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}}\, dx}{2}$
1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
  
  Pero la integral
  
  $\begin{cases} - \frac{i x \sqrt{a^{2} x^{2} - 1}}{2 a^{2}} - \frac{i \operatorname{acosh}{\left(a x \right)}}{2 a^{3}} & \text{for}\: \left|{a^{2} x^{2}}\right| > 1 \\\frac{x^{3}}{2 \sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}} - \frac{x}{2 a^{2} \sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}} + \frac{\operatorname{asin}{\left(a x \right)}}{2 a^{3}} & \text{otherwese} \end{cases}$
Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \left(\begin{cases} - \frac{i x \sqrt{a^{2} x^{2} - 1}}{2 a^{2}} - \frac{i \operatorname{acosh}{\left(a x \right)}}{2 a^{3}} & \text{for}\: \left|{a^{2} x^{2}}\right| > 1 \\\frac{x^{3}}{2 \sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}} - \frac{x}{2 a^{2} \sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}} + \frac{\operatorname{asin}{\left(a x \right)}}{2 a^{3}} & \text{otherwese} \end{cases}\right)}{2}$
Ahora simplificar:

$\begin{cases} \frac{2 a^{2} x^{2} \operatorname{asin}{\left(a x \right)} + i \left(a x \sqrt{a^{2} x^{2} - 1} + \operatorname{acosh}{\left(a x \right)}\right)}{4 a^{2}} & \text{for}\: \left|{a^{2} x^{2}}\right| > 1 \\\frac{2 x^{2} \operatorname{asin}{\left(a x \right)} + \frac{x \sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}}{a} - \frac{\operatorname{asin}{\left(a x \right)}}{a^{2}}}{4} & \text{otherwese} \end{cases}$
Añadimos la constante de integración:

$\begin{cases} \frac{2 a^{2} x^{2} \operatorname{asin}{\left(a x \right)} + i \left(a x \sqrt{a^{2} x^{2} - 1} + \operatorname{acosh}{\left(a x \right)}\right)}{4 a^{2}} & \text{for}\: \left|{a^{2} x^{2}}\right| > 1 \\\frac{2 x^{2} \operatorname{asin}{\left(a x \right)} + \frac{x \sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}}{a} - \frac{\operatorname{asin}{\left(a x \right)}}{a^{2}}}{4} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{2 a^{2} x^{2} \operatorname{asin}{\left(a x \right)} + i \left(a x \sqrt{a^{2} x^{2} - 1} + \operatorname{acosh}{\left(a x \right)}\right)}{4 a^{2}} & \text{for}\: \left|{a^{2} x^{2}}\right| > 1 \\\frac{2 x^{2} \operatorname{asin}{\left(a x \right)} + \frac{x \sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}}{a} - \frac{\operatorname{asin}{\left(a x \right)}}{a^{2}}}{4} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                         //                               ____________                        \
                                         ||                              /       2  2                         |
                                         ||         I*acosh(a*x)   I*x*\/  -1 + a *x               | 2  2|    |
                                         ||       - ------------ - -------------------         for |a *x | > 1|
                                         ||                3                  2                               |
                                         ||             2*a                2*a                                |
                                       a*|<                                                                   |
                                         ||                    3                                              |
                                         ||asin(a*x)          x                    x                          |
                                         ||--------- + ---------------- - -------------------     otherwise   |
                                         ||      3          ___________           ___________                 |
  /                      2               ||   2*a          /      2  2       2   /      2  2                  |
 |                      x *asin(a*x)     \\            2*\/  1 - a *x     2*a *\/  1 - a *x                   /
 | x*asin(a*x) dx = C + ------------ - ------------------------------------------------------------------------
 |                           2                                            2                                    
/

$$\int x \operatorname{asin}{\left(a x \right)}\, dx = C - \frac{a \left(\begin{cases} - \frac{i x \sqrt{a^{2} x^{2} - 1}}{2 a^{2}} - \frac{i \operatorname{acosh}{\left(a x \right)}}{2 a^{3}} & \text{for}\: \left|{a^{2} x^{2}}\right| > 1 \\\frac{x^{3}}{2 \sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}} - \frac{x}{2 a^{2} \sqrt{- a^{2} x^{2} + 1}} + \frac{\operatorname{asin}{\left(a x \right)}}{2 a^{3}} & \text{otherwise} \end{cases}\right)}{2} + \frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(a x \right)}}{2}$$

Simplificar

Respuesta [src]

/                       ________                                  
|                      /      2                                   
|asin(a)   asin(a)   \/  1 - a                                    
|------- - ------- + -----------  for And(a > -oo, a < oo, a != 0)
<   2           2        4*a                                      
|            4*a                                                  
|                                                                 
|               0                            otherwise            
\

$$\begin{cases} \frac{\operatorname{asin}{\left(a \right)}}{2} + \frac{\sqrt{1 - a^{2}}}{4 a} - \frac{\operatorname{asin}{\left(a \right)}}{4 a^{2}} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

/                       ________                                  
|                      /      2                                   
|asin(a)   asin(a)   \/  1 - a                                    
|------- - ------- + -----------  for And(a > -oo, a < oo, a != 0)
<   2           2        4*a                                      
|            4*a                                                  
|                                                                 
|               0                            otherwise            
\

Piecewise((asin(a)/2 - asin(a)/(4*a^2) + sqrt(1 - a^2)/(4*a), (a > -oo)∧(a < oo)∧(Ne(a, 0))), (0, True))

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de xarcsinax dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución