Integral de (-x+2)^2+2*(3*x-2)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(2 - x\right)^{3}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(2 - x\right)^{2} = x^{2} - 4 x + 4$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 x\right)\, dx = - 4 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, dx = 4 x$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \left(3 x - 2\right)^{2}\, dx = 2 \int \left(3 x - 2\right)^{2}\, dx$

      1. que $u = 3 x - 2$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{u^{2}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(3 x - 2\right)^{3}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(3 x - 2\right)^{3}}{9}$

   El resultado es: $- \frac{\left(2 - x\right)^{3}}{3} + \frac{2 \left(3 x - 2\right)^{3}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{3} + \frac{2 \left(3 x - 2\right)^{3}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{3} + \frac{2 \left(3 x - 2\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{3} + \frac{2 \left(3 x - 2\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$