Integral de (x^2+y^2+z^2)^2 dz

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(z^{2} + \left(x^{2} + y^{2}\right)\right)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + z^{4} + z^{2} \left(2 x^{2} + 2 y^{2}\right)$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int x^{4}\, dz = x^{4} z$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2 x^{2} y^{2}\, dz = 2 x^{2} y^{2} z$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int y^{4}\, dz = y^{4} z$

      1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int z^{4}\, dz = \frac{z^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int z^{2} \left(2 x^{2} + 2 y^{2}\right)\, dz = \left(2 x^{2} + 2 y^{2}\right) \int z^{2}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{2}\, dz = \frac{z^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{z^{3} \left(2 x^{2} + 2 y^{2}\right)}{3}$

      El resultado es: $x^{4} z + 2 x^{2} y^{2} z + y^{4} z + \frac{z^{5}}{5} + \frac{z^{3} \left(2 x^{2} + 2 y^{2}\right)}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(z^{2} + \left(x^{2} + y^{2}\right)\right)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + 2 x^{2} z^{2} + y^{4} + 2 y^{2} z^{2} + z^{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int x^{4}\, dz = x^{4} z$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2 x^{2} y^{2}\, dz = 2 x^{2} y^{2} z$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2} z^{2}\, dz = 2 x^{2} \int z^{2}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{2}\, dz = \frac{z^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{2} z^{3}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int y^{4}\, dz = y^{4} z$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 y^{2} z^{2}\, dz = 2 y^{2} \int z^{2}\, dz$

         1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int z^{2}\, dz = \frac{z^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 y^{2} z^{3}}{3}$

      1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int z^{4}\, dz = \frac{z^{5}}{5}$

      El resultado es: $x^{4} z + 2 x^{2} y^{2} z + \frac{2 x^{2} z^{3}}{3} + y^{4} z + \frac{2 y^{2} z^{3}}{3} + \frac{z^{5}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{z \left(15 x^{4} + 30 x^{2} y^{2} + 15 y^{4} + 3 z^{4} + 10 z^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right)\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{z \left(15 x^{4} + 30 x^{2} y^{2} + 15 y^{4} + 3 z^{4} + 10 z^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right)\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{z \left(15 x^{4} + 30 x^{2} y^{2} + 15 y^{4} + 3 z^{4} + 10 z^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right)\right)}{15}+ \mathrm{constant}$