Integral de (x^2)*(4^(5-2x^3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 - 2 x^{3}$.

      Luego que $du = - 6 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

      $\int \left(- \frac{4^{u}}{6}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4^{u}\, du = - \frac{\int 4^{u}\, du}{6}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4^{u}}{6 \log{\left(4 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4^{5 - 2 x^{3}}}{6 \log{\left(4 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4^{5 - 2 x^{3}} x^{2} = 1024 \cdot 4^{- 2 x^{3}} x^{2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1024 \cdot 4^{- 2 x^{3}} x^{2}\, dx = 1024 \int 4^{- 2 x^{3}} x^{2}\, dx$

      1. que $u = - 2 x^{3}$.

         Luego que $du = - 6 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

         $\int \left(- \frac{4^{u}}{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4^{u}\, du = - \frac{\int 4^{u}\, du}{6}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4^{u}}{6 \log{\left(4 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{4^{- 2 x^{3}}}{6 \log{\left(4 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{512 \cdot 4^{- 2 x^{3}}}{3 \log{\left(4 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4^{5 - 2 x^{3}} x^{2} = 1024 \cdot 4^{- 2 x^{3}} x^{2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1024 \cdot 4^{- 2 x^{3}} x^{2}\, dx = 1024 \int 4^{- 2 x^{3}} x^{2}\, dx$

      1. que $u = - 2 x^{3}$.

         Luego que $du = - 6 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

         $\int \left(- \frac{4^{u}}{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4^{u}\, du = - \frac{\int 4^{u}\, du}{6}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4^{u}}{6 \log{\left(4 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{4^{- 2 x^{3}}}{6 \log{\left(4 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{512 \cdot 4^{- 2 x^{3}}}{3 \log{\left(4 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2^{8 - 4 x^{3}}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2^{8 - 4 x^{3}}}{3 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2^{8 - 4 x^{3}}}{3 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$