Sr Examen

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Resolución de integrales/ (1-x)/ (1+x)/ x*(ln((1-x)/(1+x)))

Integral de x*(ln((1-x)/(1+x))) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |       /1 - x\   
 |  x*log|-----| dx
 |       \1 + x/   
 |                 
/                  
0
∫01xlog⁡(1−xx+1) dx\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}\, dx 
Integral(x*log((1 - x)/(1 + x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xlog⁡(1−xx+1)=xlog⁡(−xx+1+1x+1)x \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} = x \log{\left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right)}

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(−xx+1+1x+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

      Entonces du⁡(x)=x(x+1)2−1x+1−1(x+1)2−xx+1+1x+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x2(x(x+1)2−1x+1−1(x+1)2)2(−xx+1+1x+1) dx=∫x2(x(x+1)2−1x+1−1(x+1)2)−xx+1+1x+1 dx2\int \frac{x^{2} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{2 \left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}\, dx}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2(x(x+1)2−1x+1−1(x+1)2)−xx+1+1x+1=2−1x+1+1x−1\frac{x^{2} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}} = 2 - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        El resultado es: 2x+log⁡(x−1)−log⁡(x+1)2 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: x+log⁡(x−1)2−log⁡(x+1)2x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(1−xx+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

      Entonces du⁡(x)=(x+1)(−1−x(x+1)2−1x+1)1−x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right) \left(- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{1 - x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x2(x+1)(−1−x(x+1)2−1x+1)2(1−x) dx=∫x2(x+1)(−1−x(x+1)2−1x+1)1−x dx2\int \frac{x^{2} \left(x + 1\right) \left(- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{2 \left(1 - x\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2} \left(x + 1\right) \left(- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{1 - x}\, dx}{2}

      1. que u=−xu = - x.

        Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −2du- 2 du:

        ∫(−2u2u2−1) du\int \left(- \frac{2 u^{2}}{u^{2} - 1}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2u2−1 du=−2∫u2u2−1 du\int \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\, du = - 2 \int \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u2−1=1−12(u+1)+12(u−1)\frac{u^{2}}{u^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−12(u+1)) du=−∫1u+1 du2\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}

              1. que u=u+1u = u + 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)2- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫12(u−1) du=∫1u−1 du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

              1. que u=u−1u = u - 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

            El resultado es: u+log⁡(u−1)2−log⁡(u+1)2u + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −2u−log⁡(u−1)+log⁡(u+1)- 2 u - \log{\left(u - 1 \right)} + \log{\left(u + 1 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2x+log⁡(1−x)−log⁡(−x−1)2 x + \log{\left(1 - x \right)} - \log{\left(- x - 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: x+log⁡(1−x)2−log⁡(−x−1)2x + \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{2} - \frac{\log{\left(- x - 1 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xlog⁡(1−xx+1)=xlog⁡(−xx+1+1x+1)x \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} = x \log{\left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right)}

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(−xx+1+1x+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

      Entonces du⁡(x)=x(x+1)2−1x+1−1(x+1)2−xx+1+1x+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x2(x(x+1)2−1x+1−1(x+1)2)2(−xx+1+1x+1) dx=∫x2(x(x+1)2−1x+1−1(x+1)2)−xx+1+1x+1 dx2\int \frac{x^{2} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{2 \left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}\, dx}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2(x(x+1)2−1x+1−1(x+1)2)−xx+1+1x+1=2−1x+1+1x−1\frac{x^{2} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}} = 2 - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        El resultado es: 2x+log⁡(x−1)−log⁡(x+1)2 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: x+log⁡(x−1)2−log⁡(x+1)2x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    x2log⁡(1−xx+1)2−x−log⁡(x−1)2+log⁡(x+1)2\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}{2} - x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2log⁡(1−xx+1)2−x−log⁡(x−1)2+log⁡(x+1)2+constant\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}{2} - x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2log⁡(1−xx+1)2−x−log⁡(x−1)2+log⁡(x+1)2+constant\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}{2} - x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      2    /  1       x  \
 |                                                      x *log|----- - -----|
 |      /1 - x\          log(1 + x)       log(-1 + x)         \1 + x   1 + x/
 | x*log|-----| dx = C + ---------- - x - ----------- + ---------------------
 |      \1 + x/              2                 2                  2          
 |                                                                           
/
∫xlog⁡(1−xx+1) dx=C+x2log⁡(−xx+1+1x+1)2−x−log⁡(x−1)2+log⁡(x+1)2\int x \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right)}}{2} - x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1
−1-1 
=
= 
-1
−1-1 
-1
Respuesta numérica [src] 
-1.0
-1.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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