Integral de sqrt(x)/x^3Lnx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 \log{\left(u^{2} \right)}}{u^{4}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{u^{4}}\, du = 2 \int \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{u^{4}}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{4}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{3 u^{4}}\right)\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{4}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{9 u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(u^{2} \right)}}{3 u^{3}} - \frac{4}{9 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{3 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{9 x^{\frac{3}{2}}}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x}}{x^{3}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\, dx = - \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{2}}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\, dx}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\, dx = - \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{9 x^{\frac{3}{2}}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{6 \log{\left(x \right)} + 4}{9 x^{\frac{3}{2}}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{6 \log{\left(x \right)} + 4}{9 x^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{6 \log{\left(x \right)} + 4}{9 x^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$