Integral de sqrt((3/16)+(3t/16)) dt

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{3 t}{16} + \frac{3}{16}$.

      Luego que $du = \frac{3 dt}{16}$ y ponemos $\frac{16 du}{3}$:

      $\int \frac{16 \sqrt{u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{16 \int \sqrt{u}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{32 \left(\frac{3 t}{16} + \frac{3}{16}\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{\frac{3 t}{16} + \frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{t + 1}}{4}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{3} \sqrt{t + 1}}{4}\, dt = \frac{\sqrt{3} \int \sqrt{t + 1}\, dt}{4}$

      1. que $u = t + 1$.

         Luego que $du = dt$ y ponemos $du$:

         $\int \sqrt{u}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(t + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(t + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{3} \left(t + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{3} \left(t + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{3} \left(t + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6}+ \mathrm{constant}$