Integral de sin⁵xcos⁴x dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |     5       4      
 |  sin (x)*cos (x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(sin(x)^5*cos(x)^4, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(- u^{8} + 2 u^{6} - u^{4}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 u^{6}\, du = 2 \int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$
    El resultado es: $- \frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{8}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{4}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  El resultado es: $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{8}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{4}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  El resultado es: $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
Ahora simplificar:

$- \frac{\left(35 \sin^{4}{\left(x \right)} + 20 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8\right) \cos^{5}{\left(x \right)}}{315}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{\left(35 \sin^{4}{\left(x \right)} + 20 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8\right) \cos^{5}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(35 \sin^{4}{\left(x \right)} + 20 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8\right) \cos^{5}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                      
 |                             5         9           7   
 |    5       4             cos (x)   cos (x)   2*cos (x)
 | sin (x)*cos (x) dx = C - ------- - ------- + ---------
 |                             5         9          7    
/

$$\int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

         5         9           7   
 8    cos (1)   cos (1)   2*cos (1)
--- - ------- - ------- + ---------
315      5         9          7

$$- \frac{\cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} - \frac{\cos^{9}{\left(1 \right)}}{9} + \frac{2 \cos^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{8}{315}$$

         5         9           7   
 8    cos (1)   cos (1)   2*cos (1)
--- - ------- - ------- + ---------
315      5         9          7

$$- \frac{\cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} - \frac{\cos^{9}{\left(1 \right)}}{9} + \frac{2 \cos^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{8}{315}$$

8/315 - cos(1)^5/5 - cos(1)^9/9 + 2*cos(1)^7/7

Respuesta numérica [src]

0.0195923055782434

0.0195923055782434

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de sin⁵xcos⁴x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3