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Resolución de integrales/ x^3+8/ (x^2)/ (x^2)\(cbrt(x^3+8)^4)

Integral de (x^2)\(cbrt(x^3+8)^4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                
  /                
 |                 
 |        2        
 |       x         
 |  ------------ dx
 |             4   
 |     ________    
 |  3 /  3         
 |  \/  x  + 8     
 |                 
/                  
0
∫0∞x2(x3+83)4 dx\int\limits_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(\sqrt[3]{x^{3} + 8}\right)^{4}}\, dx 
Integral(x^2/((x^3 + 8)^(1/3))^4, (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(x3+83)4=x2x3x3+83+8x3+83\frac{x^{2}}{\left(\sqrt[3]{x^{3} + 8}\right)^{4}} = \frac{x^{2}}{x^{3} \sqrt[3]{x^{3} + 8} + 8 \sqrt[3]{x^{3} + 8}}

    2. que u=x3u = x^{3}.

      Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos dudu:

      ∫13uu+83+24u+83 du\int \frac{1}{3 u \sqrt[3]{u + 8} + 24 \sqrt[3]{u + 8}}\, du

      1. que u=u+83u = \sqrt[3]{u + 8}.

        Luego que du=du3(u+8)23du = \frac{du}{3 \left(u + 8\right)^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

        ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −1u+83- \frac{1}{\sqrt[3]{u + 8}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −1x3+83- \frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(x3+83)4=x2x3x3+83+8x3+83\frac{x^{2}}{\left(\sqrt[3]{x^{3} + 8}\right)^{4}} = \frac{x^{2}}{x^{3} \sqrt[3]{x^{3} + 8} + 8 \sqrt[3]{x^{3} + 8}}

    2. que u=x3u = x^{3}.

      Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos dudu:

      ∫13uu+83+24u+83 du\int \frac{1}{3 u \sqrt[3]{u + 8} + 24 \sqrt[3]{u + 8}}\, du

      1. que u=u+83u = \sqrt[3]{u + 8}.

        Luego que du=du3(u+8)23du = \frac{du}{3 \left(u + 8\right)^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

        ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −1u+83- \frac{1}{\sqrt[3]{u + 8}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −1x3+83- \frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −1x3+83+constant- \frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−1x3+83+constant- \frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 
 |                                  
 |       2                          
 |      x                     1     
 | ------------ dx = C - -----------
 |            4             ________
 |    ________           3 /      3 
 | 3 /  3                \/  8 + x  
 | \/  x  + 8                       
 |                                  
/
∫x2(x3+83)4 dx=C−1x3+83\int \frac{x^{2}}{\left(\sqrt[3]{x^{3} + 8}\right)^{4}}\, dx = C - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
 Gamma(1/3) 
------------
6*Gamma(4/3)
Γ(13)6Γ(43)\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}{6 \Gamma\left(\frac{4}{3}\right)} 
=
= 
 Gamma(1/3) 
------------
6*Gamma(4/3)
Γ(13)6Γ(43)\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}{6 \Gamma\left(\frac{4}{3}\right)} 
gamma(1/3)/(6*gamma(4/3))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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