Integral de ((2-x)/x)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{2 - x}{x}\right)^{3} = -1 + \frac{6}{x} - \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6}{x}\, dx = 6 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{12}{x^{2}}\right)\, dx = - 12 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x^{3}}\, dx = 8 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{x^{2}}$

      El resultado es: $- x + 6 \log{\left(x \right)} + \frac{12}{x} - \frac{4}{x^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{2 - x}{x}\right)^{3} = - \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x^{3}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x^{3}} = 1 - \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{6}{x}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \log{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{12}{x^{2}}\, dx = 12 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12}{x}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{8}{x^{3}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{x^{2}}$

         El resultado es: $x - 6 \log{\left(x \right)} - \frac{12}{x} + \frac{4}{x^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x + 6 \log{\left(x \right)} + \frac{12}{x} - \frac{4}{x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- x + 6 \log{\left(x \right)} + \frac{12}{x} - \frac{4}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + 6 \log{\left(x \right)} + \frac{12}{x} - \frac{4}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$