Integral de x^5cosx dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi             
 --             
 3              
  /             
 |              
 |   5          
 |  x *cos(x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} x^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(x^5*cos(x), (x, 0, pi/3))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = x^{5}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5 x^{4}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. La integral del coseno es seno:
  
  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = 5 x^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 20 x^{3}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. La integral del seno es un coseno menos:
  
  $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = - 20 x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 60 x^{2}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. La integral del coseno es seno:
  
  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = - 60 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 120 x$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. La integral del seno es un coseno menos:
  
  $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = 120 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 120$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. La integral del coseno es seno:
  
  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int 120 \sin{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$
1. La integral del seno es un coseno menos:
  
  $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
Por lo tanto, el resultado es: $- 120 \cos{\left(x \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                                    
 |                                                                                                     
 |  5                               5              2              3             4                      
 | x *cos(x) dx = C + 120*cos(x) + x *sin(x) - 60*x *cos(x) - 20*x *sin(x) + 5*x *cos(x) + 120*x*sin(x)
 |                                                                                                     
/

$$\int x^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx = C + x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

           2       4                      ___   3     ___   5
      10*pi    5*pi            ___   10*\/ 3 *pi    \/ 3 *pi 
-60 - ------ + ----- + 20*pi*\/ 3  - ------------ + ---------
        3       162                       27           486

$$-60 - \frac{10 \pi^{2}}{3} - \frac{10 \sqrt{3} \pi^{3}}{27} + \frac{\sqrt{3} \pi^{5}}{486} + \frac{5 \pi^{4}}{162} + 20 \sqrt{3} \pi$$

           2       4                      ___   3     ___   5
      10*pi    5*pi            ___   10*\/ 3 *pi    \/ 3 *pi 
-60 - ------ + ----- + 20*pi*\/ 3  - ------------ + ---------
        3       162                       27           486

$$-60 - \frac{10 \pi^{2}}{3} - \frac{10 \sqrt{3} \pi^{3}}{27} + \frac{\sqrt{3} \pi^{5}}{486} + \frac{5 \pi^{4}}{162} + 20 \sqrt{3} \pi$$

-60 - 10*pi^2/3 + 5*pi^4/162 + 20*pi*sqrt(3) - 10*sqrt(3)*pi^3/27 + sqrt(3)*pi^5/486

Respuesta numérica [src]

0.135818842576677

0.135818842576677

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de x^5cosx dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución