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Resolución de integrales/ sin⁴x/ cos⁷xsin⁴x

Integral de cos⁷xsin⁴x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     7       4      
 |  cos (x)*sin (x) dx
 |                    
/                     
0
∫01sin⁡4(x)cos⁡7(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cos(x)^7*sin(x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡4(x)cos⁡7(x)=(1−sin⁡2(x))3sin⁡4(x)cos⁡(x)\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫(−u10+3u8−3u6+u4) du\int \left(- u^{10} + 3 u^{8} - 3 u^{6} + u^{4}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u10) du=−∫u10 du\int \left(- u^{10}\right)\, du = - \int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Por lo tanto, el resultado es: −u1111- \frac{u^{11}}{11}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u8 du=3∫u8 du\int 3 u^{8}\, du = 3 \int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: u93\frac{u^{9}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3u6) du=−3∫u6 du\int \left(- 3 u^{6}\right)\, du = - 3 \int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −3u77- \frac{3 u^{7}}{7}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        El resultado es: −u1111+u93−3u77+u55- \frac{u^{11}}{11} + \frac{u^{9}}{3} - \frac{3 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −sin⁡11(x)11+sin⁡9(x)3−3sin⁡7(x)7+sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))3sin⁡4(x)cos⁡(x)=−sin⁡10(x)cos⁡(x)+3sin⁡8(x)cos⁡(x)−3sin⁡6(x)cos⁡(x)+sin⁡4(x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡10(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡10(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u10 du\int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡11(x)11\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡11(x)11- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡8(x)cos⁡(x) dx=3∫sin⁡8(x)cos⁡(x) dx\int 3 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u8 du\int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡9(x)3\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3sin⁡6(x)cos⁡(x)) dx=−3∫sin⁡6(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡7(x)7- \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: −sin⁡11(x)11+sin⁡9(x)3−3sin⁡7(x)7+sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))3sin⁡4(x)cos⁡(x)=−sin⁡10(x)cos⁡(x)+3sin⁡8(x)cos⁡(x)−3sin⁡6(x)cos⁡(x)+sin⁡4(x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡10(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡10(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u10 du\int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡11(x)11\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡11(x)11- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡8(x)cos⁡(x) dx=3∫sin⁡8(x)cos⁡(x) dx\int 3 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u8 du\int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡9(x)3\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3sin⁡6(x)cos⁡(x)) dx=−3∫sin⁡6(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡7(x)7- \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: −sin⁡11(x)11+sin⁡9(x)3−3sin⁡7(x)7+sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

  3. Ahora simplificar:

    (−105sin⁡6(x)+385sin⁡4(x)−495sin⁡2(x)+231)sin⁡5(x)1155\frac{\left(- 105 \sin^{6}{\left(x \right)} + 385 \sin^{4}{\left(x \right)} - 495 \sin^{2}{\left(x \right)} + 231\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{1155}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (−105sin⁡6(x)+385sin⁡4(x)−495sin⁡2(x)+231)sin⁡5(x)1155+constant\frac{\left(- 105 \sin^{6}{\left(x \right)} + 385 \sin^{4}{\left(x \right)} - 495 \sin^{2}{\left(x \right)} + 231\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{1155}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−105sin⁡6(x)+385sin⁡4(x)−495sin⁡2(x)+231)sin⁡5(x)1155+constant\frac{\left(- 105 \sin^{6}{\left(x \right)} + 385 \sin^{4}{\left(x \right)} - 495 \sin^{2}{\left(x \right)} + 231\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{1155}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                 
 |                               7         11         9         5   
 |    7       4             3*sin (x)   sin  (x)   sin (x)   sin (x)
 | cos (x)*sin (x) dx = C - --------- - -------- + ------- + -------
 |                              7          11         3         5   
/
∫sin⁡4(x)cos⁡7(x) dx=C−sin⁡11(x)11+sin⁡9(x)3−3sin⁡7(x)7+sin⁡5(x)5\int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.0000.050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       7         11         9         5   
  3*sin (1)   sin  (1)   sin (1)   sin (1)
- --------- - -------- + ------- + -------
      7          11         3         5
−3sin⁡7(1)7−sin⁡11(1)11+sin⁡9(1)3+sin⁡5(1)5- \frac{3 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} - \frac{\sin^{11}{\left(1 \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} 
=
= 
       7         11         9         5   
  3*sin (1)   sin  (1)   sin (1)   sin (1)
- --------- - -------- + ------- + -------
      7          11         3         5
−3sin⁡7(1)7−sin⁡11(1)11+sin⁡9(1)3+sin⁡5(1)5- \frac{3 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} - \frac{\sin^{11}{\left(1 \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} 
-3*sin(1)^7/7 - sin(1)^11/11 + sin(1)^9/3 + sin(1)^5/5
Respuesta numérica [src] 
0.013242770092656
0.013242770092656

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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