Integral de cos⁷xsin⁴x dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |                    
 |     7       4      
 |  cos (x)*sin (x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(cos(x)^7*sin(x)^4, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(- u^{10} + 3 u^{8} - 3 u^{6} + u^{4}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{10}\right)\, du = - \int u^{10}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{11}}{11}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 3 u^{8}\, du = 3 \int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{3}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 3 u^{6}\right)\, du = - 3 \int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{7}}{7}$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    El resultado es: $- \frac{u^{11}}{11} + \frac{u^{9}}{3} - \frac{3 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{10}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 3 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{4}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  El resultado es: $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{10}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 3 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{4}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  El resultado es: $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(- 105 \sin^{6}{\left(x \right)} + 385 \sin^{4}{\left(x \right)} - 495 \sin^{2}{\left(x \right)} + 231\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{1155}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(- 105 \sin^{6}{\left(x \right)} + 385 \sin^{4}{\left(x \right)} - 495 \sin^{2}{\left(x \right)} + 231\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{1155}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 105 \sin^{6}{\left(x \right)} + 385 \sin^{4}{\left(x \right)} - 495 \sin^{2}{\left(x \right)} + 231\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{1155}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                 
 |                               7         11         9         5   
 |    7       4             3*sin (x)   sin  (x)   sin (x)   sin (x)
 | cos (x)*sin (x) dx = C - --------- - -------- + ------- + -------
 |                              7          11         3         5   
/

$$\int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

       7         11         9         5   
  3*sin (1)   sin  (1)   sin (1)   sin (1)
- --------- - -------- + ------- + -------
      7          11         3         5

$$- \frac{3 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} - \frac{\sin^{11}{\left(1 \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{5}$$

       7         11         9         5   
  3*sin (1)   sin  (1)   sin (1)   sin (1)
- --------- - -------- + ------- + -------
      7          11         3         5

$$- \frac{3 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} - \frac{\sin^{11}{\left(1 \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{5}$$

-3*sin(1)^7/7 - sin(1)^11/11 + sin(1)^9/3 + sin(1)^5/5

Respuesta numérica [src]

0.013242770092656

0.013242770092656

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de cos⁷xsin⁴x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3