Integral de 6(x+4)^5 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 6 \left(x + 4\right)^{5}\, dx = 6 \int \left(x + 4\right)^{5}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x + 4$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{5}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(x + 4\right)^{6}}{6}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(x + 4\right)^{5} = x^{5} + 20 x^{4} + 160 x^{3} + 640 x^{2} + 1280 x + 1024$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 20 x^{4}\, dx = 20 \int x^{4}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 160 x^{3}\, dx = 160 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $40 x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 640 x^{2}\, dx = 640 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{640 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 1280 x\, dx = 1280 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $640 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1024\, dx = 1024 x$

         El resultado es: $\frac{x^{6}}{6} + 4 x^{5} + 40 x^{4} + \frac{640 x^{3}}{3} + 640 x^{2} + 1024 x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\left(x + 4\right)^{6}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(x + 4\right)^{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x + 4\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x + 4\right)^{6}+ \mathrm{constant}$