Integral de e^(-2*x)lnx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{u} e^{- 2 e^{u}}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} e^{- 2 e^{u}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int e^{- 2 u}\, du$

            1. que $u = - 2 u$.

               Luego que $du = - 2 du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 e^{u}}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{- 2 e^{u}}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 2 e^{u}}\, du}{2}$

         1. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{e^{- 2 u}}{u}\, du$

            EiRule(a=-2, b=0, context=exp(-2*_u)/_u, symbol=_u)

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\operatorname{Ei}{\left(- 2 e^{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{Ei}{\left(- 2 e^{u} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \log{\left(x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = - 2 x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{e^{- 2 x}}{x}\, dx}{2}$

      EiRule(a=-2, b=0, context=exp(-2*x)/x, symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \log{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \log{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$