Integral de y=3/(x-4)(3x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3}{x - 4} \left(3 x + 2\right) = 9 + \frac{42}{x - 4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 9\, dx = 9 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{42}{x - 4}\, dx = 42 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

         1. que $u = x - 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $42 \log{\left(x - 4 \right)}$

      El resultado es: $9 x + 42 \log{\left(x - 4 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3}{x - 4} \left(3 x + 2\right) = \frac{9 x + 6}{x - 4}$

   2. que $u = 9 x$.

      Luego que $du = 9 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + 6}{u - 36}\, du$

      1. que $u = u - 36$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 42}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 42}{u} = 1 + \frac{42}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{42}{u}\, du = 42 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $42 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + 42 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u + 42 \log{\left(u - 36 \right)} - 36$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $9 x + 42 \log{\left(9 x - 36 \right)} - 36$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3}{x - 4} \left(3 x + 2\right) = \frac{9 x}{x - 4} + \frac{6}{x - 4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9 x}{x - 4}\, dx = 9 \int \frac{x}{x - 4}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x - 4} = 1 + \frac{4}{x - 4}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{x - 4}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

               1. que $u = x - 4$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 4 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x - 4 \right)}$

            El resultado es: $x + 4 \log{\left(x - 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $9 x + 36 \log{\left(x - 4 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6}{x - 4}\, dx = 6 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

         1. que $u = x - 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(x - 4 \right)}$

      El resultado es: $9 x + 36 \log{\left(x - 4 \right)} + 6 \log{\left(x - 4 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $9 x + 42 \log{\left(x - 4 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$9 x + 42 \log{\left(x - 4 \right)}+ \mathrm{constant}$