Integral de 2x+1/(x+1)(x-3) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x - 3}{x + 1} = 1 - \frac{4}{x + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4}{x + 1}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(x + 1 \right)}$

         El resultado es: $x - 4 \log{\left(x + 1 \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x - 3}{x + 1} = \frac{x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. que $u = x + 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

            El resultado es: $x - \log{\left(x + 1 \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3}{x + 1}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(x + 1 \right)}$

         El resultado es: $x - 3 \log{\left(x + 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$

   El resultado es: $x^{2} + x - 4 \log{\left(x + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} + x - 4 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} + x - 4 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$