Integral de (x^4-x)/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{3} + 1}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3} + 1}{u}\, du = - \int \frac{u^{3} + 1}{u}\, du$

         1. que $u = u^{3}$.

            Luego que $du = 3 u^{2} du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u + 1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u + 1}{u}\, du}{3}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u + 1}{u} = 1 + \frac{1}{u}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  El resultado es: $u + \log{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{3} + \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{3}}{3} + \frac{\log{\left(u^{3} \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} - \frac{\log{\left(u^{3} \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(- x^{3} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4} - x}{x^{2}} = x^{2} - \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4} - x}{x^{2}} = \frac{x^{3} - 1}{x}$

   2. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u - 1}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u - \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{3} - \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x^{3} \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(- x^{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(- x^{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$