Integral de 1/(3-sqrt(1+x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2 u}{u - 3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u - 3}\, du = - 2 \int \frac{u}{u - 3}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u - 3} = 1 + \frac{3}{u - 3}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u - 3}\, du = 3 \int \frac{1}{u - 3}\, du$

               1. que $u = u - 3$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u - 3 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(u - 3 \right)}$

            El resultado es: $u + 3 \log{\left(u - 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u - 6 \log{\left(u - 3 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 \sqrt{x + 1} - 6 \log{\left(\sqrt{x + 1} - 3 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{3 - \sqrt{x + 1}} = - \frac{1}{\sqrt{x + 1} - 3}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{x + 1} - 3}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{x + 1} - 3}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{x + 1}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u}{u - 3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u - 3}\, du = 2 \int \frac{u}{u - 3}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{u - 3} = 1 + \frac{3}{u - 3}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3}{u - 3}\, du = 3 \int \frac{1}{u - 3}\, du$

                  1. que $u = u - 3$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u - 3 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(u - 3 \right)}$

               El resultado es: $u + 3 \log{\left(u - 3 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u + 6 \log{\left(u - 3 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{x + 1} + 6 \log{\left(\sqrt{x + 1} - 3 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{x + 1} - 6 \log{\left(\sqrt{x + 1} - 3 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \sqrt{x + 1} - 6 \log{\left(\sqrt{x + 1} - 3 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \sqrt{x + 1} - 6 \log{\left(\sqrt{x + 1} - 3 \right)}+ \mathrm{constant}$