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Resolución de integrales/ 1/cos/ cos^6/ 1/cos^6(x)

Integral de 1/cos^6(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |     6      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0
∫011cos⁡6(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(1/(cos(x)^6), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sec⁡6(x)=(tan⁡2(x)+1)2sec⁡2(x)\sec^{6}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (tan⁡2(x)+1)2sec⁡2(x)=tan⁡4(x)sec⁡2(x)+2tan⁡2(x)sec⁡2(x)+sec⁡2(x)\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        tan⁡5(x)5\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2tan⁡2(x)sec⁡2(x) dx=2∫tan⁡2(x)sec⁡2(x) dx\int 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

          Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          tan⁡3(x)3\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2tan⁡3(x)3\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. ∫sec⁡2(x) dx=tan⁡(x)\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}

      El resultado es: tan⁡5(x)5+2tan⁡3(x)3+tan⁡(x)\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (tan⁡2(x)+1)2sec⁡2(x)=tan⁡4(x)sec⁡2(x)+2tan⁡2(x)sec⁡2(x)+sec⁡2(x)\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        tan⁡5(x)5\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2tan⁡2(x)sec⁡2(x) dx=2∫tan⁡2(x)sec⁡2(x) dx\int 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

          Luego que du=(tan⁡2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          tan⁡3(x)3\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2tan⁡3(x)3\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. ∫sec⁡2(x) dx=tan⁡(x)\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}

      El resultado es: tan⁡5(x)5+2tan⁡3(x)3+tan⁡(x)\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    tan⁡5(x)5+2tan⁡3(x)3+tan⁡(x)+constant\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

tan⁡5(x)5+2tan⁡3(x)3+tan⁡(x)+constant\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                     5           3            
 |    1             tan (x)   2*tan (x)         
 | ------- dx = C + ------- + --------- + tan(x)
 |    6                5          3             
 | cos (x)                                      
 |                                              
/
∫1cos⁡6(x) dx=C+tan⁡5(x)5+2tan⁡3(x)3+tan⁡(x)\int \frac{1}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  sin(1)     4*sin(1)     8*sin(1)
--------- + ---------- + ---------
     5            3      15*cos(1)
5*cos (1)   15*cos (1)
8sin⁡(1)15cos⁡(1)+4sin⁡(1)15cos⁡3(1)+sin⁡(1)5cos⁡5(1)\frac{8 \sin{\left(1 \right)}}{15 \cos{\left(1 \right)}} + \frac{4 \sin{\left(1 \right)}}{15 \cos^{3}{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{5 \cos^{5}{\left(1 \right)}} 
=
= 
  sin(1)     4*sin(1)     8*sin(1)
--------- + ---------- + ---------
     5            3      15*cos(1)
5*cos (1)   15*cos (1)
8sin⁡(1)15cos⁡(1)+4sin⁡(1)15cos⁡3(1)+sin⁡(1)5cos⁡5(1)\frac{8 \sin{\left(1 \right)}}{15 \cos{\left(1 \right)}} + \frac{4 \sin{\left(1 \right)}}{15 \cos^{3}{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{5 \cos^{5}{\left(1 \right)}} 
sin(1)/(5*cos(1)^5) + 4*sin(1)/(15*cos(1)^3) + 8*sin(1)/(15*cos(1))
Respuesta numérica [src] 
5.90824557562449
5.90824557562449

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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