Integral de 2*y*e^(x^2-y^2)*cos(2*x*y) dx
Solución
Solución detallada
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
Vuelva a escribir el integrando:
e x 2 − y 2 ⋅ 2 y cos ( 2 x y ) = 2 y e x 2 e − y 2 cos ( 2 x y ) e^{x^{2} - y^{2}} \cdot 2 y \cos{\left(2 x y \right)} = 2 y e^{x^{2}} e^{- y^{2}} \cos{\left(2 x y \right)} e x 2 − y 2 ⋅ 2 y cos ( 2 x y ) = 2 y e x 2 e − y 2 cos ( 2 x y )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 2 y e x 2 e − y 2 cos ( 2 x y ) d x = 2 y e − y 2 ∫ e x 2 cos ( 2 x y ) d x \int 2 y e^{x^{2}} e^{- y^{2}} \cos{\left(2 x y \right)}\, dx = 2 y e^{- y^{2}} \int e^{x^{2}} \cos{\left(2 x y \right)}\, dx ∫ 2 y e x 2 e − y 2 cos ( 2 x y ) d x = 2 y e − y 2 ∫ e x 2 cos ( 2 x y ) d x
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = cos ( 2 x y ) u{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x y \right)} u ( x ) = cos ( 2 x y ) dv ( x ) = e x 2 \operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x^{2}} dv ( x ) = e x 2
Entonces du ( x ) = − 2 y sin ( 2 x y ) \operatorname{du}{\left(x \right)} = - 2 y \sin{\left(2 x y \right)} du ( x ) = − 2 y sin ( 2 x y )
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x )
ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − π y sin ( 2 x y ) erfi ( x ) ) d x = − π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x \int \left(- \sqrt{\pi} y \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \sqrt{\pi} y \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx ∫ ( − π y sin ( 2 x y ) erfi ( x ) ) d x = − π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x
No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
Pero la integral
∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x
Por lo tanto, el resultado es: − π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x - \sqrt{\pi} y \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx − π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x
Por lo tanto, el resultado es: 2 y ( π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + π cos ( 2 x y ) erfi ( x ) 2 ) e − y 2 2 y \left(\sqrt{\pi} y \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx + \frac{\sqrt{\pi} \cos{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}\right) e^{- y^{2}} 2 y ( π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + 2 π c o s ( 2 x y ) erfi ( x ) ) e − y 2
Método #2
Vuelva a escribir el integrando:
e x 2 − y 2 ⋅ 2 y cos ( 2 x y ) = 2 y e x 2 e − y 2 cos ( 2 x y ) e^{x^{2} - y^{2}} \cdot 2 y \cos{\left(2 x y \right)} = 2 y e^{x^{2}} e^{- y^{2}} \cos{\left(2 x y \right)} e x 2 − y 2 ⋅ 2 y cos ( 2 x y ) = 2 y e x 2 e − y 2 cos ( 2 x y )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 2 y e x 2 e − y 2 cos ( 2 x y ) d x = 2 y e − y 2 ∫ e x 2 cos ( 2 x y ) d x \int 2 y e^{x^{2}} e^{- y^{2}} \cos{\left(2 x y \right)}\, dx = 2 y e^{- y^{2}} \int e^{x^{2}} \cos{\left(2 x y \right)}\, dx ∫ 2 y e x 2 e − y 2 cos ( 2 x y ) d x = 2 y e − y 2 ∫ e x 2 cos ( 2 x y ) d x
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = cos ( 2 x y ) u{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x y \right)} u ( x ) = cos ( 2 x y ) dv ( x ) = e x 2 \operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x^{2}} dv ( x ) = e x 2
Entonces du ( x ) = − 2 y sin ( 2 x y ) \operatorname{du}{\left(x \right)} = - 2 y \sin{\left(2 x y \right)} du ( x ) = − 2 y sin ( 2 x y )
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x )
ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − π y sin ( 2 x y ) erfi ( x ) ) d x = − π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x \int \left(- \sqrt{\pi} y \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \sqrt{\pi} y \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx ∫ ( − π y sin ( 2 x y ) erfi ( x ) ) d x = − π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x
No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
Pero la integral
∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x
Por lo tanto, el resultado es: − π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x - \sqrt{\pi} y \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx − π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x
Por lo tanto, el resultado es: 2 y ( π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + π cos ( 2 x y ) erfi ( x ) 2 ) e − y 2 2 y \left(\sqrt{\pi} y \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx + \frac{\sqrt{\pi} \cos{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}\right) e^{- y^{2}} 2 y ( π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + 2 π c o s ( 2 x y ) erfi ( x ) ) e − y 2
Ahora simplificar:
π y ( 2 y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + cos ( 2 x y ) erfi ( x ) ) e − y 2 \sqrt{\pi} y \left(2 y \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx + \cos{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\right) e^{- y^{2}} π y ( 2 y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + cos ( 2 x y ) erfi ( x ) ) e − y 2
Añadimos la constante de integración:
π y ( 2 y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + cos ( 2 x y ) erfi ( x ) ) e − y 2 + c o n s t a n t \sqrt{\pi} y \left(2 y \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx + \cos{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\right) e^{- y^{2}}+ \mathrm{constant} π y ( 2 y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + cos ( 2 x y ) erfi ( x ) ) e − y 2 + constant
Respuesta:
π y ( 2 y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + cos ( 2 x y ) erfi ( x ) ) e − y 2 + c o n s t a n t \sqrt{\pi} y \left(2 y \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx + \cos{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\right) e^{- y^{2}}+ \mathrm{constant} π y ( 2 y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + cos ( 2 x y ) erfi ( x ) ) e − y 2 + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
|
| 2 2 / / ____ \ 2
| x - y | ____ | \/ pi *cos(2*x*y)*erfi(x)| -y
| 2*y*E *cos(2*x*y) dx = C + 2*y*|y*\/ pi * | erfi(x)*sin(2*x*y) dx + -------------------------|*e
| | | 2 |
/ \ / /
∫ e x 2 − y 2 ⋅ 2 y cos ( 2 x y ) d x = C + 2 y ( π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + π cos ( 2 x y ) erfi ( x ) 2 ) e − y 2 \int e^{x^{2} - y^{2}} \cdot 2 y \cos{\left(2 x y \right)}\, dx = C + 2 y \left(\sqrt{\pi} y \int \sin{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx + \frac{\sqrt{\pi} \cos{\left(2 x y \right)} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}\right) e^{- y^{2}} ∫ e x 2 − y 2 ⋅ 2 y cos ( 2 x y ) d x = C + 2 y ( π y ∫ sin ( 2 x y ) erfi ( x ) d x + 2 π cos ( 2 x y ) erfi ( x ) ) e − y 2
/ 1 \
| / |
| | |
| | / 2\ | 2
| | \x / | -y
2*y*| | cos(2*x*y)*e dx|*e
| | |
|/ |
\0 /
2 y e − y 2 ∫ 0 1 e x 2 cos ( 2 x y ) d x 2 y e^{- y^{2}} \int\limits_{0}^{1} e^{x^{2}} \cos{\left(2 x y \right)}\, dx 2 y e − y 2 0 ∫ 1 e x 2 cos ( 2 x y ) d x
=
/ 1 \
| / |
| | |
| | / 2\ | 2
| | \x / | -y
2*y*| | cos(2*x*y)*e dx|*e
| | |
|/ |
\0 /
2 y e − y 2 ∫ 0 1 e x 2 cos ( 2 x y ) d x 2 y e^{- y^{2}} \int\limits_{0}^{1} e^{x^{2}} \cos{\left(2 x y \right)}\, dx 2 y e − y 2 0 ∫ 1 e x 2 cos ( 2 x y ) d x
2*y*Integral(cos(2*x*y)*exp(x^2), (x, 0, 1))*exp(-y^2)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.
