Integral de (2-5*x^4+x)/(3*x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + \left(2 - 5 x^{4}\right)}{3 x^{2}} = - \frac{5 x^{2}}{3} + \frac{1}{3 x} + \frac{2}{3 x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5 x^{2}}{3}\right)\, dx = - \frac{5 \int x^{2}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{3}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{3 x^{2}}\, dx = \frac{2 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{3 x}$

      El resultado es: $- \frac{5 x^{3}}{9} + \frac{\log{\left(x \right)}}{3} - \frac{2}{3 x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + \left(2 - 5 x^{4}\right)}{3 x^{2}} = - \frac{5 x^{4} - x - 2}{3 x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{5 x^{4} - x - 2}{3 x^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{5 x^{4} - x - 2}{x^{2}}\, dx}{3}$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{5 u^{4} + u - 2}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5 u^{4} + u - 2}{u^{2}}\, du = - \int \frac{5 u^{4} + u - 2}{u^{2}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{5 u^{4} + u - 2}{u^{2}} = 5 u^{2} + \frac{1}{u} - \frac{2}{u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 5 u^{2}\, du = 5 \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{3}}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

               El resultado es: $\frac{5 u^{3}}{3} + \log{\left(u \right)} + \frac{2}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{3}}{3} - \log{\left(u \right)} - \frac{2}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5 x^{3}}{3} - \log{\left(- x \right)} + \frac{2}{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{3}}{9} + \frac{\log{\left(- x \right)}}{3} - \frac{2}{3 x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(- 5 x^{3} + 3 \log{\left(x \right)}\right) - 6}{9 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(- 5 x^{3} + 3 \log{\left(x \right)}\right) - 6}{9 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- 5 x^{3} + 3 \log{\left(x \right)}\right) - 6}{9 x}+ \mathrm{constant}$