Sr Examen
Integral de 1/sin(5x/3) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 1 | -------- dx | /5*x\ | sin|---| | \ 3 / | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}\, dx$$
Integral(1/sin((5*x)/3), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | -------- dx | /5*x\ | sin|---| | \ 3 / | /
La función subintegral
1 -------- /5*x\ sin|---| \ 3 /
Multiplicamos numerador y denominador por
/5*x\ sin|---| \ 3 /
obtendremos
/5*x\
sin|---|
1 \ 3 /
-------- = ---------
/5*x\ 2/5*x\
sin|---| sin |---|
\ 3 / \ 3 /Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2/5*x\ 2/5*x\
sin |---| = 1 - cos |---|
\ 3 / \ 3 /cambiamos denominador
/5*x\ /5*x\
sin|---| sin|---|
\ 3 / \ 3 /
--------- = -------------
2/5*x\ 2/5*x\
sin |---| 1 - cos |---|
\ 3 / \ 3 /hacemos el cambio
/5*x\
u = cos|---|
\ 3 /entonces integral
/ | | /5*x\ | sin|---| | \ 3 / | ------------- dx = | 2/5*x\ | 1 - cos |---| | \ 3 / | /
/ | | /5*x\ | sin|---| | \ 3 / | ------------- dx = | 2/5*x\ | 1 - cos |---| | \ 3 / | /
Como du = -5*dx*sin(5*x/3)/3
/ | | -3 | ---------- du | / 2\ | 5*\1 - u / | /
Reescribimos la función subintegral
-3 -3 / 1 1 \ ---------- = ---*|----- + -----| / 2\ 5*2 \1 - u 1 + u/ 5*\1 - u /
entonces
/ /
| |
| 1 | 1
3* | ----- du 3* | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| -3 / / =
| ---------- du = - ------------- - -------------
| / 2\ 10 10
| 5*\1 - u /
|
/
= -3*log(1 + u)/10 + 3*log(-1 + u)/10
hacemos cambio inverso
/5*x\
u = cos|---|
\ 3 /Respuesta
/ / /5*x\\ / /5*x\\ | 3*log|1 + cos|---|| 3*log|-1 + cos|---|| | 1 \ \ 3 // \ \ 3 // | -------- dx = - ------------------- + -------------------- | /5*x\ 10 10 + C0 | sin|---| | \ 3 / | /
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ / /5*x\\ / /5*x\\ | 3*log|1 + cos|---|| 3*log|-1 + cos|---|| | 1 \ \ 3 // \ \ 3 // | -------- dx = C - ------------------- + -------------------- | /5*x\ 10 10 | sin|---| | \ 3 / | /
$$\int \frac{1}{\sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(\cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)} - 1 \right)}}{10} - \frac{3 \log{\left(\cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)} + 1 \right)}}{10}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
3*pi*I
oo + ------
10
$$\infty + \frac{3 i \pi}{10}$$
=
=
3*pi*I
oo + ------
10
$$\infty + \frac{3 i \pi}{10}$$
oo + 3*pi*i/10
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.