Sr Examen

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Integral de 1/(sin(4*t)*dt) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dt
 |  sin(4*t)   
 |             
/              
0              
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left(4 t \right)}}\, dt$$
Integral(1/sin(4*t), (t, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dt
 | sin(4*t)   
 |            
/             
La función subintegral
   1    
--------
sin(4*t)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(4*t)
obtendremos
   1        sin(4*t)
-------- = ---------
sin(4*t)      2     
           sin (4*t)
Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
   2               2     
sin (4*t) = 1 - cos (4*t)
cambiamos denominador
 sin(4*t)      sin(4*t)  
--------- = -------------
   2               2     
sin (4*t)   1 - cos (4*t)
hacemos el cambio
u = cos(4*t)
entonces integral
  /                  
 |                   
 |    sin(4*t)       
 | ------------- dt  
 |        2         =
 | 1 - cos (4*t)     
 |                   
/                    
  
  /                  
 |                   
 |    sin(4*t)       
 | ------------- dt  
 |        2         =
 | 1 - cos (4*t)     
 |                   
/                    
  
Como du = -4*dt*sin(4*t)
  /             
 |              
 |    -1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 4*\1 - u /   
 |              
/               
Reescribimos la función subintegral
   -1        -1  /  1       1  \
---------- = ---*|----- + -----|
  /     2\   4*2 \1 - u   1 + u/
4*\1 - u /                      
entonces
                       /             /          
                      |             |           
                      |   1         |   1       
                      | ----- du    | ----- du  
  /                   | 1 + u       | 1 - u     
 |                    |             |           
 |    -1             /             /           =
 | ---------- du = - ----------- - -----------  
 |   /     2\             8             8       
 | 4*\1 - u /                                   
 |                                              
/                                               
  
= -log(1 + u)/8 + log(-1 + u)/8
hacemos cambio inverso
u = cos(4*t)
Respuesta
  /                                                           
 |                                                            
 |    1            log(1 + cos(4*t))   log(-1 + cos(4*t))     
 | -------- dt = - ----------------- + ------------------ + C0
 | sin(4*t)                8                   8              
 |                                                            
/                                                             
donde C0 es la constante que no depende de t
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                        
 |                                                         
 |    1              log(1 + cos(4*t))   log(-1 + cos(4*t))
 | -------- dt = C - ----------------- + ------------------
 | sin(4*t)                  8                   8         
 |                                                         
/                                                          
$$\int \frac{1}{\sin{\left(4 t \right)}}\, dt = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(4 t \right)} - 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(\cos{\left(4 t \right)} + 1 \right)}}{8}$$
Gráfica
Respuesta [src]
nan
$$\text{NaN}$$
=
=
nan
$$\text{NaN}$$
nan
Respuesta numérica [src]
10.3449662462077
10.3449662462077

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.