Sr Examen
Integral de 1/(sin(4*t)*dt) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 1 | -------- dt | sin(4*t) | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left(4 t \right)}}\, dt$$
Integral(1/sin(4*t), (t, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | -------- dt | sin(4*t) | /
La función subintegral
1 -------- sin(4*t)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(4*t)
obtendremos
1 sin(4*t)
-------- = ---------
sin(4*t) 2
sin (4*t)Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 sin (4*t) = 1 - cos (4*t)
cambiamos denominador
sin(4*t) sin(4*t) --------- = ------------- 2 2 sin (4*t) 1 - cos (4*t)
hacemos el cambio
u = cos(4*t)
entonces integral
/ | | sin(4*t) | ------------- dt | 2 = | 1 - cos (4*t) | /
/ | | sin(4*t) | ------------- dt | 2 = | 1 - cos (4*t) | /
Como du = -4*dt*sin(4*t)
/ | | -1 | ---------- du | / 2\ | 4*\1 - u / | /
Reescribimos la función subintegral
-1 -1 / 1 1 \ ---------- = ---*|----- + -----| / 2\ 4*2 \1 - u 1 + u/ 4*\1 - u /
entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| -1 / / =
| ---------- du = - ----------- - -----------
| / 2\ 8 8
| 4*\1 - u /
|
/
= -log(1 + u)/8 + log(-1 + u)/8
hacemos cambio inverso
u = cos(4*t)
Respuesta
/ | | 1 log(1 + cos(4*t)) log(-1 + cos(4*t)) | -------- dt = - ----------------- + ------------------ + C0 | sin(4*t) 8 8 | /
donde C0 es la constante que no depende de t
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | 1 log(1 + cos(4*t)) log(-1 + cos(4*t)) | -------- dt = C - ----------------- + ------------------ | sin(4*t) 8 8 | /
$$\int \frac{1}{\sin{\left(4 t \right)}}\, dt = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(4 t \right)} - 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(\cos{\left(4 t \right)} + 1 \right)}}{8}$$
Gráfica
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.