Integral de sin^14(5t)cos(5t) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(5 t \right)}$.

      Luego que $du = 5 \cos{\left(5 t \right)} dt$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{14}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{14}\, du = \frac{\int u^{14}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{15}}{75}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin^{15}{\left(5 t \right)}}{75}$

   Método #2

   1. que $u = 5 t$.

      Luego que $du = 5 dt$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\sin^{14}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin^{14}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin^{14}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int u^{14}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{15}{\left(u \right)}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{15}{\left(u \right)}}{75}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin^{15}{\left(5 t \right)}}{75}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin^{15}{\left(5 t \right)}}{75}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin^{15}{\left(5 t \right)}}{75}+ \mathrm{constant}$