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Resolución de integrales/ x^2+x/ x^2-1/ x^4+x/ 4+x^2/ (3x^4+x^2+x)/(x^2-1)

Integral de (3x^4+x^2+x)/(x^2-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                 
  /                 
 |                  
 |     4    2       
 |  3*x  + x  + x   
 |  ------------- dx
 |       2          
 |      x  - 1      
 |                  
/                   
-oo
∫−∞∞x+(3x4+x2)x2−1 dx\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{x + \left(3 x^{4} + x^{2}\right)}{x^{2} - 1}\, dx 
Integral((3*x^4 + x^2 + x)/(x^2 - 1), (x, -oo, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x+(3x4+x2)x2−1=3x2+4−32(x+1)+52(x−1)\frac{x + \left(3 x^{4} + x^{2}\right)}{x^{2} - 1} = 3 x^{2} + 4 - \frac{3}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{5}{2 \left(x - 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2 dx=3∫x2 dx\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: x3x^{3}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−32(x+1)) dx=−3∫1x+1 dx2\int \left(- \frac{3}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −3log⁡(x+1)2- \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫52(x−1) dx=5∫1x−1 dx2\int \frac{5}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{5 \int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 5log⁡(x−1)2\frac{5 \log{\left(x - 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x3+4x+5log⁡(x−1)2−3log⁡(x+1)2x^{3} + 4 x + \frac{5 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x+(3x4+x2)x2−1=3x4x2−1+x2x2−1+xx2−1\frac{x + \left(3 x^{4} + x^{2}\right)}{x^{2} - 1} = \frac{3 x^{4}}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{x}{x^{2} - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x4x2−1 dx=3∫x4x2−1 dx\int \frac{3 x^{4}}{x^{2} - 1}\, dx = 3 \int \frac{x^{4}}{x^{2} - 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x4x2−1=x2+1−12(x+1)+12(x−1)\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = x^{2} + 1 - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−12(x+1)) dx=−∫1x+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}

            1. que u=x+1u = x + 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)2- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(x−1) dx=∫1x−1 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−1)2\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

          El resultado es: x33+x+log⁡(x−1)2−log⁡(x+1)2\frac{x^{3}}{3} + x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x3+3x+3log⁡(x−1)2−3log⁡(x+1)2x^{3} + 3 x + \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2x2−1=1−12(x+1)+12(x−1)\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−12(x+1)) dx=−∫1x+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)2- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫12(x−1) dx=∫1x−1 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−1)2\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

        El resultado es: x+log⁡(x−1)2−log⁡(x+1)2x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xx2−1 dx=∫2xx2−1 dx2\int \frac{x}{x^{2} - 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} - 1}\, dx}{2}

        1. que u=x2−1u = x^{2} - 1.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x2−1)\log{\left(x^{2} - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2−1)2\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x3+4x+2log⁡(x−1)−2log⁡(x+1)+log⁡(x2−1)2x^{3} + 4 x + 2 \log{\left(x - 1 \right)} - 2 \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x3+4x+5log⁡(x−1)2−3log⁡(x+1)2+constantx^{3} + 4 x + \frac{5 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x3+4x+5log⁡(x−1)2−3log⁡(x+1)2+constantx^{3} + 4 x + \frac{5 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                                                               
 |    4    2                                                     
 | 3*x  + x  + x           3         3*log(1 + x)   5*log(-1 + x)
 | ------------- dx = C + x  + 4*x - ------------ + -------------
 |      2                                 2               2      
 |     x  - 1                                                    
 |                                                               
/
∫x+(3x4+x2)x2−1 dx=C+x3+4x+5log⁡(x−1)2−3log⁡(x+1)2\int \frac{x + \left(3 x^{4} + x^{2}\right)}{x^{2} - 1}\, dx = C + x^{3} + 4 x + \frac{5 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0100.0000.0020.0040.0060.0080.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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