Integral de 1,5*(1-x)*e^x-0,5 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{\left(3 u + 3\right) e^{- u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(3 u + 3\right) e^{- u}\, du = - \frac{\int \left(3 u + 3\right) e^{- u}\, du}{2}$

            1. que $u = - u$.

               Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

               $\int \left(3 u e^{u} - 3 e^{u}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 3 u e^{u}\, du = 3 \int u e^{u}\, du$

                     1. Usamos la integración por partes:

                        $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                        que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                        Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                        Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Ahora resolvemos podintegral.

                     2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $3 u e^{u} - 3 e^{u}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du = - 3 \int e^{u}\, du$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 3 e^{u}$

                  El resultado es: $3 u e^{u} - 6 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 3 u e^{- u} - 6 e^{- u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u e^{- u}}{2} + 3 e^{- u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3 x e^{x}}{2} + 3 e^{x}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{x} \frac{3 \left(1 - x\right)}{2} = - \frac{3 x e^{x}}{2} + \frac{3 e^{x}}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3 x e^{x}}{2}\right)\, dx = - \frac{3 \int x e^{x}\, dx}{2}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x e^{x}}{2} + \frac{3 e^{x}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 e^{x}}{2}\, dx = \frac{3 \int e^{x}\, dx}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 e^{x}}{2}$

         El resultado es: $- \frac{3 x e^{x}}{2} + 3 e^{x}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$

   El resultado es: $- \frac{3 x e^{x}}{2} - \frac{x}{2} + 3 e^{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 x e^{x}}{2} - \frac{x}{2} + 3 e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 x e^{x}}{2} - \frac{x}{2} + 3 e^{x}+ \mathrm{constant}$